解説

方針・初手

条件式から、$c,d$ の整数倍の和を $a,b$ の式に直す。

（1） では $c+3d$ を $2a+b$ と合同な形に直す。

（2） では $c,d$ がともに $p$ の倍数であることから、$a,b$ に関する式も $p$ の倍数になるように、$c,d$ を消去する。

解法1

**(1)**

$c=4a+7b,\ d=3a+4b$ より、

$$ \begin{aligned} c+3d &=(4a+7b)+3(3a+4b)\\ &=13a+19b \end{aligned}

$$

である。

ここで、

$$ 13a+19b=15a+20b-(2a+b)

$$

だから、

$$ c+3d=5(3a+4b)-(2a+b)

$$

となる。

いま、$c+3d$ は $5$ の倍数であり、$5(3a+4b)$ も $5$ の倍数である。

したがって、その差

$$ 5(3a+4b)-(c+3d)=2a+b

$$

も $5$ の倍数である。

よって、$2a+b$ は $5$ の倍数である。

**(2)**

$c,d$ がともに素数 $p$ の倍数であるとする。

すなわち、

$$ p\mid c,\qquad p\mid d

$$

である。

$c,d$ の整数係数の一次結合も $p$ の倍数であるから、まず $b$ を消去する。

$$ \begin{aligned} 4c-7d &=4(4a+7b)-7(3a+4b)\\ &=16a+28b-21a-28b\\ &=-5a \end{aligned}

$$

よって、

$$ p\mid 5a

$$

である。

同様に、$a$ を消去すると、

$$ \begin{aligned} 3c-4d &=3(4a+7b)-4(3a+4b)\\ &=12a+21b-12a-16b\\ &=5b \end{aligned}

$$

よって、

$$ p\mid 5b

$$

である。

ここで、$p$ は素数である。

もし $p\ne 5$ ならば、$p$ は $5$ を割り切らない。したがって、$p\mid 5a$ より $p\mid a$、また $p\mid 5b$ より $p\mid b$ となる。

すると、$p$ は $a$ と $b$ の $1$ 以外の正の公約数になる。これは、$a$ と $b$ が互いに素であることに反する。

ゆえに、$p\ne 5$ はありえない。

したがって、

$$ p=5

$$

である。

解説

この問題の本質は、$c,d$ が $a,b$ の一次式で与えられているので、必要な式を整数係数の一次結合で作ることにある。

（1） では、$c+3d$ をそのまま計算すると $13a+19b$ になる。これは $5$ の倍数との差を取ることで、$2a+b$ に変形できる。

（2） では、$c,d$ がともに $p$ の倍数ならば、$4c-7d$ や $3c-4d$ も $p$ の倍数である。このようにして $b$ または $a$ を消去すると、それぞれ $5a,\ 5b$ が得られる。最後に、$a,b$ が互いに素であることを使って、$p$ は $5$ 以外にありえないと結論する。

答え

**(1)**

$c+3d$ が $5$ の倍数ならば、$2a+b$ も $5$ の倍数である。

**(2)**

$a$ と $b$ が互いに素で、$c$ と $d$ がともに素数 $p$ の倍数ならば、

$$ p=5

$$

である。