解説

方針・初手

正 $n$ 角形を $m$ 個、1点の周りに隙間なく並べるので、その点に集まる $m$ 個の内角の和が $360^\circ$、すなわち $2\pi$ になることを用いる。

正 $n$ 角形の1つの内角は

$$ \frac{(n-2)\pi}{n}

$$

である。

解法1

正 $n$ 角形 $m$ 個が1点の周りを隙間なく埋めるから、

$$ m\cdot \frac{(n-2)\pi}{n}=2\pi

$$

である。

両辺を $\pi$ で割ると、

$$ m\cdot \frac{n-2}{n}=2

$$

となる。これを整理する。

$$ \frac{m(n-2)}{n}=2

$$

$$ m(n-2)=2n

$$

$$ mn-2m=2n

$$

ここから $mn$ で割ると、

$$ 1-\frac{2}{n}=\frac{2}{m}

$$

したがって、

$$ \frac{1}{2}-\frac{1}{n}=\frac{1}{m}

$$

よって、

$$ \frac{1}{n}+\frac{1}{m}=\frac{1}{2}

$$

である。

次に、この式を満たす整数の組 $(n,m)$ を求める。正多角形であるから $n\geqq 3$、また1点の周りに並ぶ個数も $m\geqq 3$ である。

$$ \frac{1}{n}+\frac{1}{m}=\frac{1}{2}

$$

の両辺に $2mn$ をかけると、

$$ 2m+2n=mn

$$

すなわち、

$$ mn-2m-2n=0

$$

である。両辺に $4$ を加えて因数分解すると、

$$ mn-2m-2n+4=4

$$

$$ (n-2)(m-2)=4

$$

となる。

$n\geqq 3,\ m\geqq 3$ より、$n-2,\ m-2$ は正の整数である。したがって、$4$ の正の約数の組を調べればよい。

$$ (n-2,m-2)=(1,4),(2,2),(4,1)

$$

より、

$$ (n,m)=(3,6),(4,4),(6,3)

$$

である。

解説

正多角形の敷き詰めでは、「1点の周りの角の和が $360^\circ$ になる」という条件を式にするのが基本である。

正 $n$ 角形の内角は $\frac{(n-2)\pi}{n}$ なので、それが $m$ 個集まることから

$$ m\cdot \frac{(n-2)\pi}{n}=2\pi

$$

を立てる。この式を変形すると

$$ \frac{1}{n}+\frac{1}{m}=\frac{1}{2}

$$

になり、さらに

$$ (n-2)(m-2)=4

$$

と因数分解できる。あとは $4$ の正の約数の組を調べればよい。

答え

$$ \frac{1}{n}+\frac{1}{m}=\frac{1}{2}

$$

したがって、

$$ [\text{セ}]=\frac{1}{2}

$$

また、条件を満たす $(n,m)$ は

$$ (3,6),\ (4,4),\ (6,3)

$$

である。

よって、

$$ ([\text{ソ}],[\text{タ}])=(3,6)

$$

$$ ([\text{チ}],[\text{ツ}])=(4,4)

$$

$$ ([\text{テ}],[\text{ト}])=(6,3)

$$