解説

方針・初手

$n$ と $n^2+2$ がともに素数であるためには、まず $n$ 自身が素数でなければならない。

そこで、素数 $n$ を $2,3,3$ 以外の素数に分けて調べる。特に $3$ 以外の素数は $3$ で割った余りが $1$ または $2$ であり、その平方は $3$ で割って $1$ 余ることを用いる。

解法1

$n$ と $n^2+2$ がともに素数であるとする。このとき $n$ は素数である。

まず $n=2$ のとき、

$$ n^2+2=2^2+2=6

$$

であり、$6$ は素数でない。したがって $n=2$ は条件を満たさない。

次に $n=3$ のとき、

$$ n^2+2=3^2+2=11

$$

であり、$3$ も $11$ も素数である。したがって $n=3$ は条件を満たす。

あとは、$n$ が $3$ 以外の素数である場合を考える。このとき $n$ は $3$ で割り切れないから、

$$ n \equiv 1,\ 2 \pmod{3}

$$

のいずれかである。したがって、

$$ n^2 \equiv 1 \pmod{3}

$$

である。

よって、

$$ n^2+2 \equiv 1+2 \equiv 0 \pmod{3}

$$

となる。つまり、$n^2+2$ は $3$ で割り切れる。

また、$n$ は $3$ 以外の素数なので $n \geqq 5$ であり、

$$ n^2+2 \geqq 5^2+2=27>3

$$

である。したがって、$n^2+2$ は $3$ で割り切れる $3$ より大きい自然数なので、素数ではない。

以上より、$n$ と $n^2+2$ がともに素数となるのは $n=3$ の場合に限られる。

解説

この問題の要点は、「$n$ 自身が素数である」という条件から、$n$ を素数として扱える点にある。

そのうえで、$3$ を法として考えると、$3$ で割り切れない整数の平方は必ず $1$ に合同になる。したがって、$3$ 以外の素数 $n$ では $n^2+2$ が必ず $3$ の倍数になってしまう。

$n=2$ の例外処理を忘れると結論が不完全になるため、$2,3,3$ 以外の素数の3つに分けるのが自然である。

答え

$n$ と $n^2+2$ がともに素数となるのは、

$$ n=3

$$

の場合に限られる。