解説

方針・初手

奇数 $n$ については $n=2k+1$ とおけるので、まず $n^2-1$ を因数分解して $8$ の倍数であることを示す。

次に $n^5-n$ については、$3,5,8$ でそれぞれ割り切れることを示し、$3,5,8$ が互いに素であることから $120=3\cdot 5\cdot 8$ の倍数であると結論する。

解法1

$n$ は奇数であるから、ある整数 $k$ を用いて

$$ n=2k+1

$$

と表せる。

**(1)**

このとき

$$ \begin{aligned} n^2-1 &=(2k+1)^2-1\\ &=4k^2+4k\\ &=4k(k+1) \end{aligned}

$$

である。

ここで $k$ と $k+1$ は連続する2整数であるから、どちらか一方は偶数である。したがって $k(k+1)$ は $2$ の倍数である。

よって、ある整数 $m$ を用いて $k(k+1)=2m$ と書けるので、

$$ n^2-1=4k(k+1)=8m

$$

となる。したがって、$n^2-1$ は $8$ の倍数である。

**(2)**

$n^5-n$ を因数分解すると

$$ n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)

$$

である。

特に

$$ n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)

$$

と書ける。

ここで $n-1,n,n+1$ は連続する3整数であるから、このうち少なくとも1つは $3$ の倍数である。したがって積

$$ n(n-1)(n+1)(n^2+1)

$$

は $3$ の倍数である。

よって、$n^5-n$ は $3$ の倍数である。

**(3)**

まず、(1) より $n^2-1$ は $8$ の倍数である。したがって

$$ n^5-n=n(n^2-1)(n^2+1)

$$

も $8$ の倍数である。

また、(2) より $n^5-n$ は $3$ の倍数である。

残りとして、$5$ の倍数であることを示す。整数 $n$ を $5$ で割った余りによって分ける。

**(i)**

$n\equiv 0 \pmod{5}$ のとき、

$$ n^5-n\equiv 0^5-0\equiv 0 \pmod{5}

$$

である。

**(ii)**

$n\equiv 1 \pmod{5}$ のとき、

$$ n^5-n\equiv 1^5-1\equiv 0 \pmod{5}

$$

である。

**(iii)**

$n\equiv 2 \pmod{5}$ のとき、

$$ n^5-n\equiv 2^5-2=32-2=30\equiv 0 \pmod{5}

$$

である。

**(iv)**

$n\equiv 3 \pmod{5}$ のとき、

$$ n^5-n\equiv 3^5-3=243-3=240\equiv 0 \pmod{5}

$$

である。

**(v)**

$n\equiv 4 \pmod{5}$ のとき、

$$ n^5-n\equiv 4^5-4=1024-4=1020\equiv 0 \pmod{5}

$$

である。

以上より、どの場合でも $n^5-n$ は $5$ の倍数である。

したがって、$n^5-n$ は $8,3,5$ のすべての倍数である。さらに $8,3,5$ は互いに素であるから、$n^5-n$ は

$$ 8\cdot 3\cdot 5=120

$$

の倍数である。

解説

(1) は奇数を $2k+1$ とおく典型処理である。$n^2-1$ を計算すると $4k(k+1)$ となり、連続する2整数の積 $k(k+1)$ が偶数であることから $8$ の倍数が出てくる。

(2) は $n^5-n$ を因数分解して、連続する3整数 $n-1,n,n+1$ を含む形にするのが自然である。連続する3整数の中には必ず $3$ の倍数があるので、積全体が $3$ の倍数となる。

(3) では $120=8\cdot 3\cdot 5$ と分解し、それぞれの素因数について割り切れることを確認する。(1) と (2) により $8$ と $3$ はすでに処理されているため、追加で $5$ の倍数であることを示せばよい。

答え

**(1)**

$n^2-1$ は $8$ の倍数である。

**(2)**

$n^5-n$ は $3$ の倍数である。

**(3)**

$n^5-n$ は $120$ の倍数である。