解説

方針・初手

$a_n$ については、和の各項が「連続する3整数の積」を $6$ で割った形であることを見る。

$a_n-b_n$ が $4$ の倍数であることは、$a_n$ を閉じた形に直してから、$n$ が奇数であることを使って因数分解する。

解法1

まず、任意の整数 $k$ に対して、$(k-1)k(k+1)$ は連続する3整数の積である。連続する3整数のうち少なくとも1つは $2$ の倍数であり、少なくとも1つは $3$ の倍数であるから、

$$ \frac{(k-1)k(k+1)}{6}

$$

は整数である。したがって、その和である $a_n$ も整数である。

次に、$n$ は奇数であるから、ある整数 $m$ を用いて

$$ n=2m+1

$$

と書ける。このとき $n\geqq 3$ より $m\geqq 1$ である。

$b_n$ は

$$ b_n=\frac{n^2-1}{8} =\frac{(2m+1)^2-1}{8} =\frac{4m(m+1)}{8} =\frac{m(m+1)}{2}

$$

となる。$m$ と $m+1$ は連続する2整数であるから、その積 $m(m+1)$ は偶数である。よって $b_n$ も整数である。

以上より、$a_n,b_n$ はどちらも整数である。

次に、$a_n-b_n$ が $4$ の倍数であることを示す。

$a_n$ を計算すると、

$$ \begin{aligned} a_n &=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{n-1}(k-1)k(k+1)\\ &=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{n-1}(k^3-k)\\ &=\frac{1}{6}\left\{\left(\frac{(n-1)n}{2}\right)^2-\frac{(n-1)n}{2}\right\}\\ &=\frac{n(n-1)}{24}{n(n-1)-2}\\ &=\frac{n(n-1)(n-2)(n+1)}{24} \end{aligned}

$$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} a_n-b_n &=\frac{n(n-1)(n-2)(n+1)}{24}-\frac{n^2-1}{8}\\ &=\frac{(n-1)(n+1){n(n-2)-3}}{24}\\ &=\frac{(n-1)(n+1)(n^2-2n-3)}{24}\\ &=\frac{(n-1)(n+1)^2(n-3)}{24} \end{aligned}

$$

となる。

ここで $n=2m+1$ とおくと、

$$ \begin{aligned} a_n-b_n &=\frac{(2m)(2m+2)^2(2m-2)}{24}\\ &=4\cdot \frac{m(m-1)(m+1)^2}{6} \end{aligned}

$$

である。

$m-1,m,m+1$ は連続する3整数であるから、積 $(m-1)m(m+1)$ は $6$ の倍数である。よって

$$ \frac{m(m-1)(m+1)^2}{6}

$$

は整数である。

したがって、

$$ a_n-b_n=4\times \text{整数}

$$

となり、$a_n-b_n$ は $4$ の倍数である。

解説

この問題では、整数性の証明と倍数性の証明で見るべき形が異なる。

$a_n$ の整数性は、各項

$$ \frac{(k-1)k(k+1)}{6}

$$

が連続する3整数の積を $6$ で割ったものになっていることから直接分かる。

一方、$a_n-b_n$ が $4$ の倍数であることは、和のままでは見通しが悪い。そこで $a_n$ を閉じた形

$$ a_n=\frac{n(n-1)(n-2)(n+1)}{24}

$$

に直し、さらに $n=2m+1$ とおくことで、$4$ が因数として外に出る形にするのが自然である。

答え

**(1)**

$a_n,b_n$ はどちらも整数である。

**(2)**

$$ a_n-b_n=4\cdot \frac{m(m-1)(m+1)^2}{6} \quad (n=2m+1)

$$

と表され、右辺の分数部分は整数である。よって $a_n-b_n$ は $4$ の倍数である。