解説

方針・初手

差の平方・差の立方はいずれも因数分解できる。右辺が素数 $p$ であることから、正の因数分解がほとんど一通りに限られることを利用する。

特に

$$ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)

$$

において、右辺が素数になるためには、基本的に $x-y=1$ でなければならない。この形まで落とすと、あとは $y$ による二次式

$$ p=3y^2+3y+1

$$

を調べればよい。

解法1

（1）

$$ x^2-y^2=(x-y)(x+y)=p

$$

である。$p$ は素数であり、$p\geqq 3$ だから奇素数である。

また $x,y$ は自然数で、$x^2-y^2=p>0$ より $x>y$ である。したがって $x-y$ と $x+y$ は正の整数である。

$p$ が素数なので、正の因数分解は

$$ x-y=1,\qquad x+y=p

$$

に限られる。

これを連立して解くと、

$$ 2x=p+1,\qquad 2y=p-1

$$

より、

$$ x=\frac{p+1}{2},\qquad y=\frac{p-1}{2}

$$

である。

$p$ は奇素数なので、これらはともに自然数である。

（2）

$$ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)=p

$$

である。

$p$ は素数であり、$x^3-y^3=p>0$ だから $x>y$ である。したがって $x-y$ と $x^2+xy+y^2$ は正の整数である。

$p$ が素数なので、

$$ x-y=1

$$

でなければならない。

よって $x=y+1$ とおける。このとき

$$ \begin{aligned} p &=(y+1)^3-y^3 \\ &=3y^2+3y+1 \\ &=3y(y+1)+1 \end{aligned}

$$

である。

ここで $y$ と $y+1$ は連続する整数なので、$y(y+1)$ は偶数である。したがって $3y(y+1)$ は $6$ の倍数である。

よって

$$ p=3y(y+1)+1\equiv 1 \pmod{6}

$$

である。

したがって、$p$ を $6$ で割った余りは $1$ である。

（3）

（2） より、$x^3-y^3=p$ が自然数解 $(x,y)$ をもつならば、

$$ x-y=1

$$

である。

したがって $x=y+1$ とおけて、

$$ p=(y+1)^3-y^3=3y^2+3y+1

$$

となる。

あとは、自然数 $y$ について

$$ p=3y^2+3y+1

$$

が素数になるものを小さい順に調べればよい。

順に計算すると、

$$ \begin{aligned} y=1&:\quad p=7,\\ y=2&:\quad p=19,\\ y=3&:\quad p=37,\\ y=4&:\quad p=61,\\ y=5&:\quad p=91=7\cdot 13,\\ y=6&:\quad p=127,\\ y=7&:\quad p=169=13^2,\\ y=8&:\quad p=217=7\cdot 31,\\ y=9&:\quad p=271. \end{aligned}

$$

ここで、$271$ が素数であることを確認する。$\sqrt{271}<17$ であるから、$2,3,5,7,11,13$ で割り切れるかを調べれば十分である。

$271$ は奇数であり、各位の和は $10$ なので $3$ では割り切れない。また $5$ では割り切れない。

さらに

$$ 271=7\cdot 38+5

$$

$$ 271=11\cdot 24+7

$$

$$ 271=13\cdot 20+11

$$

であるから、$7,11,13$ でも割り切れない。

よって $271$ は素数である。

したがって、小さい順に並べると

$$ p_1=7,\quad p_2=19,\quad p_3=37,\quad p_4=61,\quad p_5=127,\quad p_6=271

$$

である。

解説

この問題の中心は、右辺が素数であることを因数分解に結びつける点である。

平方差では

$$ x^2-y^2=(x-y)(x+y)

$$

と分解されるため、素数 $p$ の因数分解として

$$ 1\cdot p

$$

しかないことを使えばよい。

立方差でも同様に

$$ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)

$$

と分解する。右辺が素数なので、$x-y=1$ が強制される。ここから

$$ p=(y+1)^3-y^3=3y^2+3y+1

$$

となり、$p\equiv 1\pmod{6}$ も自然に導かれる。

（3） では、この形にしたあと、$y$ を小さい方から代入して素数だけを拾えばよい。ただし、合成数の確認と、$271$ が素数である確認を省略しないことが重要である。

答え

**(1)**

$$ x=\frac{p+1}{2},\qquad y=\frac{p-1}{2}

$$

**(2)**

$$ p\equiv 1\pmod{6}

$$

したがって、$p$ を $6$ で割った余りは $1$ である。

**(3)**

$$ p_6=271

$$