解説

方針・初手

まず $n+1$ が素数であることから、$n$ の偶奇を調べる。$n$ が奇数なら $n+1$ は偶数なので、素数となるには $n+1=2$ しかない。

残る $n$ が偶数の場合は、$3$ を法として場合分けする。$n$ を $3$ で割った余りに応じて、$n+1,\ n^3+3,\ n^6+5$ のいずれかが $3$ で割り切れることを示す。

解法1

$n$ が奇数であるとする。このとき $n+1$ は偶数である。

$n+1$ が素数であるためには、

$$ n+1=2

$$

でなければならない。よって $n=1$ である。しかしこのとき、

$$ n^3+3=1^3+3=4

$$

となり、これは素数ではない。したがって、条件を満たす $n$ は奇数ではありえない。

よって以下では $n$ は偶数であるとする。

次に、$n$ を $3$ で割った余りによって場合分けする。

**(i)**

$n\equiv 0 \pmod 3$ のとき

このとき、

$$ n^3+3\equiv 0^3+3\equiv 0 \pmod 3

$$

である。したがって $n^3+3$ は $3$ で割り切れる。

また、$n$ は正の偶数であり、かつ $3$ の倍数なので $n\geqq 6$ である。よって

$$ n^3+3>3

$$

であるから、$n^3+3$ は $3$ で割り切れる $3$ より大きい整数であり、素数ではない。

**(ii)**

$n\equiv 2 \pmod 3$ のとき

このとき、

$$ n+1\equiv 2+1\equiv 0 \pmod 3

$$

である。したがって $n+1$ は $3$ で割り切れる。

$n+1$ が素数であるためには、

$$ n+1=3

$$

でなければならない。よって $n=2$ である。

しかしこのとき、

$$ n^6+5=2^6+5=64+5=69

$$

となり、

$$ 69=3\cdot 23

$$

であるから素数ではない。

**(iii)**

$n\equiv 1 \pmod 3$ のとき

このとき、

$$ n^6\equiv 1^6\equiv 1 \pmod 3

$$

である。また、

$$ 5\equiv 2 \pmod 3

$$

なので、

$$ n^6+5\equiv 1+2\equiv 0 \pmod 3

$$

である。したがって $n^6+5$ は $3$ で割り切れる。

さらに $n$ は正の偶数で、$n\equiv 1\pmod 3$ であるから最小でも $n=4$ である。よって

$$ n^6+5>3

$$

である。したがって $n^6+5$ は $3$ で割り切れる $3$ より大きい整数であり、素数ではない。

以上より、$n$ が奇数の場合も偶数の場合も、4個の整数

$$ n+1,\quad n^3+3,\quad n^6+5,\quad n^7+7

$$

がすべて素数になることはない。

したがって、そのような正の整数 $n$ は存在しない。

解説

この問題では、4つの式を直接素数判定するのではなく、まず $n+1$ が素数であることから $n$ の偶奇を制限するのが初手である。

$n$ が奇数なら $n+1$ は偶数なので、すぐに $n=1$ に限られる。そこから矛盾が出る。

$n$ が偶数の場合は、$3$ を法とする合同式で十分である。$n$ の $3$ での余りは $0,1,2$ の3通りしかなく、それぞれの場合に $n^3+3,\ n^6+5,\ n+1$ のどれかが $3$ で割り切れる。

特に、$3$ で割り切れるだけでは不十分であり、その数が $3$ 自身ではなく $3$ より大きいことまで確認する必要がある。この点が素数性を否定するための条件である。

答え

4個の整数 $n+1,\ n^3+3,\ n^6+5,\ n^7+7$ がすべて素数となるような正の整数 $n$ は存在しない。