解説

方針・初手

$3$ つの数 $n,\ n+2,\ n+4$ は、公差 $2$ の等差数列である。これらを $3$ で割った余りに注目すると、必ずどれか $1$ つが $3$ の倍数になる。この性質を使う。

解法1

$n,\ n+2,\ n+4$ がすべて素数であるとする。

これらを $3$ で割った余りを考える。$2 \equiv -1 \pmod{3}$ であるから、

$$ n,\quad n+2,\quad n+4

$$

は $3$ を法として

$$ n,\quad n-1,\quad n+1

$$

と合同である。

したがって、$n$ を $3$ で割った余りが $0,1,2$ のいずれであっても、$n,\ n+2,\ n+4$ のうちちょうど $1$ つは $3$ の倍数になる。

実際に場合分けすると、次のようになる。

**(i)**

$n \equiv 0 \pmod{3}$ のとき、$n$ が $3$ の倍数である。

**(ii)**

$n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、

$$ n+2 \equiv 1+2 \equiv 0 \pmod{3}

$$

より、$n+2$ が $3$ の倍数である。

**(iii)**

$n \equiv 2 \pmod{3}$ のとき、

$$ n+4 \equiv 2+4 \equiv 6 \equiv 0 \pmod{3}

$$

より、$n+4$ が $3$ の倍数である。

ここで、$n,\ n+2,\ n+4$ はすべて素数であるから、$3$ の倍数になっているものは $3$ そのものでなければならない。

よって、次のいずれかが成り立つ。

$$ n=3,\quad n+2=3,\quad n+4=3

$$

しかし、

$$ n+2=3

$$

なら $n=1$ であり、$n$ は素数でない。また、

$$ n+4=3

$$

なら $n=-1$ となり、自然数でない。

したがって、可能なのは

$$ n=3

$$

の場合だけである。

実際に $n=3$ のとき、

$$ n=3,\quad n+2=5,\quad n+4=7

$$

となり、$3,5,7$ はすべて素数である。

以上より、$n,\ n+2,\ n+4$ がすべて素数であるのは $n=3$ の場合だけである。

解説

この問題の核心は、「連続する奇数」ではなく「$3$ で割った余り」に注目する点である。$n,\ n+2,\ n+4$ は $3$ を法として必ず $0,1,2$ の余りをすべて含むため、どれか $1$ つは $3$ の倍数になる。

素数であり、かつ $3$ の倍数である数は $3$ だけである。このため、$3$ の倍数になった項が $3$ でなければならず、そこから $n=3$ だけが残る。

答え

$n=3$ の場合だけである。