解説

方針・初手

互いに素であることを示すには、$2n-1$ と $2n+1$ の共通の約数を任意に取り、それが $1$ しかありえないことを示せばよい。

ここでは、2つの数の差が

$$ (2n+1)-(2n-1)=2

$$

であることに注目する。

解法1

$2n-1$ と $2n+1$ の正の公約数を $d$ とする。

このとき、$d$ は $2n-1$ と $2n+1$ の両方を割り切るので、その差も割り切る。したがって

$$ d \mid {(2n+1)-(2n-1)}

$$

より、

$$ d \mid 2

$$

である。

よって、$d$ は $1$ または $2$ である。

一方、$2n-1$ は奇数である。したがって、$2$ は $2n-1$ を割り切らない。ゆえに、$d=2$ はありえない。

したがって、$d=1$ である。

以上より、$2n-1$ と $2n+1$ の正の公約数は $1$ だけであるから、$2n-1$ と $2n+1$ は互いに素である。

解法2

ユークリッドの互除法を用いる。

$$ \gcd(2n-1,2n+1)=\gcd(2n-1,(2n+1)-(2n-1))

$$

であるから、

$$ \gcd(2n-1,2n+1)=\gcd(2n-1,2)

$$

となる。

ここで、$2n-1$ は奇数なので、$2$ とは共通の素因数をもたない。したがって

$$ \gcd(2n-1,2)=1

$$

である。

よって、

$$ \gcd(2n-1,2n+1)=1

$$

となり、$2n-1$ と $2n+1$ は互いに素である。

解説

連続する2つの奇数 $2n-1$、$2n+1$ は差が $2$ である。したがって、共通の約数があるなら、それは $2$ の約数に限られる。

しかし、どちらも奇数であるため、$2$ を共通の約数にもつことはできない。よって共通の約数は $1$ しかない。

この問題では、「共通の約数は差も割り切る」という整数問題の基本性質を使うのが最短である。

答え

$2n-1$ と $2n+1$ の正の公約数は $1$ のみである。

したがって、$2n-1$ と $2n+1$ は互いに素である。