解説

方針・初手

分母を因数分解して、分子を分母の定数倍と余りに分ける。さらに $m=n+1$ とおくと、割り切り条件が $m$ と $m+1$ に対する約数条件に落ちる。

解法1

分母は

$$ n^2+3n+2=(n+1)(n+2)

$$

である。また、分子は

$$ 3n^2+174n+231=3(n^2+3n+2)+165n+225

$$

と変形できるから、

$$ c(n)=3+\frac{165n+225}{(n+1)(n+2)}

$$

である。

したがって、$c(n)$ が整数となる条件は

$$ (n+1)(n+2)\mid 165n+225

$$

である。

ここで

$$ m=n+1

$$

とおく。すると $n=m-1$ であり、$m\geqq 2$ である。また

$$ n+2=m+1

$$

だから、条件は

$$ m(m+1)\mid 165(m-1)+225

$$

すなわち

$$ m(m+1)\mid 165m+60

$$

となる。

$m$ と $m+1$ は連続する整数なので互いに素である。したがって

$$ m(m+1)\mid 165m+60

$$

が成り立つためには、

$$ m\mid 165m+60

$$

かつ

$$ m+1\mid 165m+60

$$

が必要十分である。

まず

$$ m\mid 165m+60

$$

より

$$ m\mid 60

$$

である。

次に、$m\equiv -1 \pmod{m+1}$ だから、

$$ 165m+60\equiv -165+60=-105 \pmod{m+1}

$$

である。よって

$$ m+1\mid 105

$$

である。

したがって、求める $m$ は

$$ m\mid 60,\qquad m+1\mid 105

$$

を満たす $m\geqq 2$ である。

$60$ の正の約数は

$$ 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60

$$

である。このうち $m+1$ が $105$ の約数となるものを調べる。

$$ \begin{array}{c|c} m & m+1 \\ \hline 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 6 & 7 \\ 20 & 21 \end{array}

$$

これらはいずれも $m\mid 60$ かつ $m+1\mid 105$ を満たす。したがって

$$ m=2,4,6,20

$$

であり、

$$ n=m-1

$$

より

$$ n=1,3,5,19

$$

である。

よって、条件を満たす自然数 $n$ は $4$ 個存在する。その中で最大のものは

$$ n^*=19

$$

である。

最後に $c(19)$ を求める。

$$ c(19)=\frac{3\cdot 19^2+174\cdot 19+231}{19^2+3\cdot 19+2}

$$

分母は

$$ 19^2+3\cdot 19+2=361+57+2=420

$$

であり、分子は

$$ 3\cdot 361+174\cdot 19+231=1083+3306+231=4620

$$

である。よって

$$ c(19)=\frac{4620}{420}=11

$$

である。

解説

この問題では、分母を $(n+1)(n+2)$ と因数分解したあと、$m=n+1$ とおくのが重要である。すると分母が $m(m+1)$ となり、連続する整数の積になる。

$m$ と $m+1$ は互いに素なので、積で割り切れる条件をそれぞれの割り切り条件に分けられる。そこから

$$ m\mid 60,\qquad m+1\mid 105

$$

という有限個の約数チェックに帰着できる。

直接 $n$ を代入して探すよりも、割り切り条件を約数条件へ変換する方が安全で、数え漏れも起こりにくい。

答え

$$ \boxed{\text{ア}=4}

$$

$$ \boxed{\text{イ}=19}

$$

$$ \boxed{\text{ウ}=11}

$$