解説

方針・初手

平方根が整数であることを、ある整数 $m$ を用いて方程式に言い換える。式 $n^2-8n+1$ は平方完成すると扱いやすい。

解法1

$\sqrt{n^2-8n+1}$ が整数であるから、$m$ を $0$ 以上の整数として

$$ \sqrt{n^2-8n+1}=m

$$

とおける。両辺を2乗して

$$ n^2-8n+1=m^2

$$

である。左辺を平方完成すると

$$ (n-4)^2-15=m^2

$$

より

$$ (n-4)^2-m^2=15

$$

となる。

ここで $a=n-4$ とおくと、

$$ a^2-m^2=15

$$

すなわち

$$ (a-m)(a+m)=15

$$

である。

$m\geqq 0$ なので $a-m\leqq a+m$ であり、積が $15$ となる整数の組を考えればよい。さらに $a-m$ と $a+m$ は同じ偶奇であり、積が奇数なのでともに奇数である。

したがって、考えられる組は

$$ (a-m,\ a+m)=(1,15),\ (3,5),\ (-15,-1),\ (-5,-3)

$$

である。

それぞれについて $a$ を求めると、

$$ a=\frac{(a-m)+(a+m)}{2}

$$

より

$$ a=8,\ 4,\ -8,\ -4

$$

である。したがって

$$ n=a+4

$$

より

$$ n=12,\ 8,\ -4,\ 0

$$

を得る。

これらはいずれも実際に平方根の中が平方数になるので条件を満たす。

よって、条件を満たす整数 $n$ は

$$ -4,\ 0,\ 8,\ 12

$$

の $4$ 個であり、最も大きいものは $12$ である。

解説

この問題では、平方根が整数になる条件を「平方数になる条件」として処理するのが基本である。

ポイントは

$$ n^2-8n+1=(n-4)^2-15

$$

と平方完成し、差の平方の形

$$ (n-4)^2-m^2=15

$$

に持ち込むことである。すると因数分解により有限個の整数の組を調べるだけで済む。

答え

$$ \boxed{\text{ケ}=4,\quad \text{コ}=12}

$$