基礎問題集
数学A 整数問題「整数問題」の問題85 解説
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解説
方針・初手
式 $n^3-7n+9$ が常に $3$ で割り切れることに注目する。素数であり、かつ $3$ の倍数である整数は $3$ しかないので、あとは
$$ n^3-7n+9=3
$$
を解けばよい。
解法1
任意の整数 $n$ について、合同式
$$ n^3 \equiv n \pmod{3}
$$
が成り立つ。したがって
$$ n^3-7n+9 \equiv n-7n+9=-6n+9 \equiv 0 \pmod{3}
$$
である。
よって $n^3-7n+9$ は常に $3$ の倍数である。
これが素数となるためには、正の素数であることに加えて、$3$ の倍数であるから
$$ n^3-7n+9=3
$$
でなければならない。
これを整理すると
$$ n^3-7n+6=0
$$
である。左辺を因数分解すると
$$ n^3-7n+6=(n-1)(n-2)(n+3)
$$
となるので、
$$ (n-1)(n-2)(n+3)=0
$$
より
$$ n=1,\ 2,\ -3
$$
を得る。
実際に代入すると、
$$ 1^3-7\cdot 1+9=3
$$
$$ 2^3-7\cdot 2+9=3
$$
$$ (-3)^3-7(-3)+9=3
$$
であり、いずれも素数である。
解説
この問題では、直接値を調べるのではなく、まず合同式で「必ず $3$ の倍数になる」ことを見抜くのが重要である。
$n^3 \equiv n \pmod{3}$ は整数問題で頻出の性質であり、これを使うと与式が常に $3$ の倍数であることがすぐ分かる。素数である $3$ の倍数は $3$ 自身しかないため、問題は三次方程式
$$ n^3-7n+6=0
$$
を解くことに帰着される。
答え
$$ n=-3,\ 1,\ 2
$$