解説

方針・初手

素因数 $3$ の個数は、各数に含まれる $3$ の指数を合計すればよい。

階乗 $n!$ では、$3$ の倍数が少なくとも $1$ 個の $3$ を、$9$ の倍数がさらにもう $1$ 個の $3$ を、$27$ の倍数がさらにもう $1$ 個の $3$ を含むので、

$$ \left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor+ \left\lfloor \frac{n}{9} \right\rfloor+ \left\lfloor \frac{n}{27} \right\rfloor+\cdots

$$

で数えられる。

解法1

まず、$1000!$ に含まれる素因数 $3$ の個数を求める。

$3^6=729 \leqq 1000$、$3^7=2187>1000$ であるから、

$$ \begin{aligned} v_3(1000!) &= \left\lfloor \frac{1000}{3} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{1000}{9} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{1000}{27} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{1000}{81} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{1000}{243} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{1000}{729} \right\rfloor \\ &=333+111+37+12+4+1 \\ &=498 \end{aligned}

$$

したがって、$1000!$ に含まれる素因数 $3$ の個数は $498$ 個である。

次に、$1000!!$ を考える。$1000!!$ は偶数だけの積なので、

$$ 1000!!=1000\cdot 998\cdot 996\cdots 2

$$

である。各項から $2$ をくくると、

$$ 1000!!=2^{500}(500\cdot 499\cdot 498\cdots 1)=2^{500}\cdot 500!

$$

となる。$2^{500}$ は素因数 $3$ を含まないから、$1000!!$ に含まれる素因数 $3$ の個数は $500!$ に含まれる素因数 $3$ の個数に等しい。

よって、

$$ \begin{aligned} v_3(1000!!) &=v_3(500!) \\ &= \left\lfloor \frac{500}{3} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{500}{9} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{500}{27} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{500}{81} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{500}{243} \right\rfloor \\ &=166+55+18+6+2 \\ &=247 \end{aligned}

$$

したがって、$1000!!$ に含まれる素因数 $3$ の個数は $247$ 個である。

最後に、$999!!$ を考える。$999!!$ は奇数だけの積なので、

$$ 999!!=999\cdot 997\cdot 995\cdots 1

$$

である。

また、

$$ 999!=(999\cdot 997\cdot 995\cdots 1)(998\cdot 996\cdot 994\cdots 2)

$$

だから、

$$ 999!=999!!\cdot 998!!

$$

である。ここで、

$$ 998!!=998\cdot 996\cdot 994\cdots 2=2^{499}\cdot 499!

$$

であるから、

$$ 999!=999!!\cdot 2^{499}\cdot 499!

$$

となる。

$2^{499}$ は素因数 $3$ を含まないので、

$$ v_3(999!!)=v_3(999!)-v_3(499!)

$$

である。

まず、

$$ \begin{aligned} v_3(999!) &= \left\lfloor \frac{999}{3} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{999}{9} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{999}{27} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{999}{81} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{999}{243} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{999}{729} \right\rfloor \\ &=333+111+37+12+4+1 \\ &=498 \end{aligned}

$$

また、

$$ \begin{aligned} v_3(499!) &= \left\lfloor \frac{499}{3} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{499}{9} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{499}{27} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{499}{81} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{499}{243} \right\rfloor \\ &=166+55+18+6+2 \\ &=247 \end{aligned}

$$

したがって、

$$ v_3(999!!)=498-247=251

$$

である。

解説

階乗に含まれる素因数の個数を数える典型問題である。ポイントは、$3$ の倍数だけでなく、$9,27,81,\ldots$ の倍数が追加で $3$ を含むことを忘れないことである。

また、二重階乗では、偶数だけの積なら $2$ をくくって通常の階乗に直すのが速い。$1000!!=2^{500}\cdot 500!$ の形にすれば、素因数 $3$ の個数は $500!$ だけを見ればよい。

一方、奇数だけの積である $999!!$ は、$999!$ から偶数部分 $998!!$ を除くと考えると処理しやすい。

答え

**(1)**

$498$ 個

**(2)**

$247$ 個

**(3)**

$251$ 個