解説

方針・初手

$f(n)$ と $f(n+1)$ のうち、偶数を代入した方に注目する。

$f(x)$ は $x$ が偶数のとき偶数になる。したがって、その絶対値が素数になるには、その値の絶対値が $2$ でなければならない。この条件から、偶数の入力を大きく絞る。

解法1

整数 $k$ が偶数であるとする。$k=2m$ とおくと、

$$ \begin{aligned} f(k) &=k^3+2k^2+2 \\ &=(2m)^3+2(2m)^2+2 \\ &=8m^3+8m^2+2 \\ &=2(4m^3+4m^2+1) \\ &=2{4m^2(m+1)+1} \end{aligned}

$$

となる。よって $f(k)$ は偶数である。

ここで $|f(k)|$ が素数なら、偶数の素数は $2$ だけなので、

$$ |f(k)|=2

$$

でなければならない。したがって、

$$ \left|4m^2(m+1)+1\right|=1

$$

である。

これを場合分けする。

**(i)**

$$ 4m^2(m+1)+1=1

$$

のとき、

$$ 4m^2(m+1)=0

$$

より、

$$ m=0,-1

$$

である。したがって、

$$ k=2m=0,-2

$$

である。

**(ii)**

$$ 4m^2(m+1)+1=-1

$$

のとき、

$$ 4m^2(m+1)=-2

$$

となる。しかし左辺は $4$ の倍数であり、右辺 $-2$ は $4$ の倍数でないので不可能である。

以上より、偶数 $k$ に対して $|f(k)|$ が素数となるためには、

$$ k=0,-2

$$

でなければならない。

ここで $n$ と $n+1$ は連続する整数なので、どちらか一方は必ず偶数である。

$n$ が偶数なら、$|f(n)|$ が素数であるために

$$ n=0,-2

$$

でなければならない。

$n+1$ が偶数なら、$|f(n+1)|$ が素数であるために

$$ n+1=0,-2

$$

でなければならない。したがって、

$$ n=-1,-3

$$

である。

よって候補は

$$ n=-3,-2,-1,0

$$

に限られる。

実際に確認する。

$$ \begin{aligned} n=-3&:\quad f(-3)=-27+18+2=-7,\quad f(-2)=-8+8+2=2,\\ n=-2&:\quad f(-2)=2,\quad f(-1)=-1+2+2=3,\\ n=-1&:\quad f(-1)=3,\quad f(0)=2,\\ n=0&:\quad f(0)=2,\quad f(1)=1+2+2=5. \end{aligned}

$$

したがって、いずれの場合も $|f(n)|$ と $|f(n+1)|$ はともに素数である。

解説

この問題の要点は、$n$ と $n+1$ のどちらか一方が必ず偶数であることに気づく点である。

$f(x)=x^3+2x^2+2$ は、偶数を代入すると偶数になる。偶数で素数になれるのは $2$ だけなので、偶数を代入した側の値は非常に強く制限される。

全体を直接調べるのではなく、「偶数を代入したときだけ先に処理する」ことで、候補を $4$ 個まで一気に絞れる。

答え

$$ n=-3,-2,-1,0

$$