解説

方針・初手

(1) は $n^3+2n$ を、3の倍数であることが分かりやすい形に変形する。

(2) は「すべての自然数 $n$ で成り立つ」という命題なので、1つでも成り立たない自然数を見つければ偽であることを示せる。

解法1

まず (1) を示す。

$$ n^3+2n=n^3-n+3n

$$

と変形する。ここで

$$ n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)

$$

である。

$n-1,n,n+1$ は連続する3つの整数であるから、この中には必ず3の倍数が1つ含まれる。したがって

$$ n(n-1)(n+1)

$$

は3の倍数である。

また、$3n$ も3の倍数である。よって、3の倍数どうしの和

$$ n^3+2n=n(n-1)(n+1)+3n

$$

も3の倍数である。

したがって、任意の自然数 $n$ に対して $n^3+2n$ は3の倍数である。

次に (2) を示す。

命題

「$n$ を自然数とするとき、$n^2+n+41$ は素数である。」

が真であるためには、すべての自然数 $n$ について $n^2+n+41$ が素数でなければならない。

そこで $n=40$ とすると、

$$ n^2+n+41=40^2+40+41

$$

であるから、

$$ 40^2+40+41=1600+40+41=1681

$$

となる。

一方、

$$ 1681=41^2

$$

である。

したがって、

$$ 40^2+40+41=41^2

$$

は $1$ と自分自身以外の約数 $41$ をもつので、素数ではない。

よって、自然数 $n=40$ で命題は成り立たない。したがって、この命題は偽である。

解説

(1) は合同式を使っても解けるが、$n^3+2n=n^3-n+3n$ と見ると、連続する3整数の積が現れるため、3の倍数であることが自然に分かる。

(2) のような「$n$ を自然数とするとき〜である」という形の命題は、通常「すべての自然数 $n$ について成り立つ」という意味である。したがって、偽であることを示すには反例を1つ挙げれば十分である。

この問題では $n=40$ とすると

$$ n^2+n+41=41^2

$$

となり、素数でないことが一目で分かる。

答え

**(1)**

任意の自然数 $n$ に対して、$n^3+2n$ は3の倍数である。

**(2)**

命題は偽である。反例は $n=40$ であり、

$$ 40^2+40+41=41^2

$$

となるので、素数ではない。