解説

方針・初手

(1) は $n!+2, n!+3,\ldots,n!+n$ がそれぞれ割り切れることに着目する。

(2) は $n!-1$ の素因数を1つ取る。もしその素因数が $n$ 以下なら、$n!$ も割り切るため矛盾が出る。

解法1

まず $n\geqq 3$ とする。

**(1)**

$n!+1<p\leqq n!+n$ を満たす整数 $p$ があるとすれば、ある整数 $k$ を用いて

$$ p=n!+k\qquad (2\leqq k\leqq n)

$$

と表せる。

このとき、$k\leqq n$ であるから、$n!$ は $k$ で割り切れる。したがって

$$ n!+k

$$

も $k$ で割り切れる。

また、$n\geqq 3$ かつ $2\leqq k\leqq n$ より

$$ n!+k>k

$$

である。よって $n!+k$ は $1$ と自分自身以外の約数 $k$ をもつので合成数である。

したがって、$n!+2,n!+3,\ldots,n!+n$ はすべて合成数であり、

$$ n!+1<p\leqq n!+n

$$

を満たす素数 $p$ は存在しない。

よって命題 (1) は真である。

**(2)**

$n\geqq 3$ より

$$ n!-1\geqq 3!-1=5

$$

であるから、$n!-1$ は $2$ 以上の自然数である。よって $n!-1$ は少なくとも1つの素因数をもつ。その素因数を $p$ とする。

すると

$$ p\mid n!-1

$$

である。

ここで、もし $p\leqq n$ ならば、$p$ は $n!$ の因数であるから

$$ p\mid n!

$$

も成り立つ。したがって

$$ p\mid n!-(n!-1)=1

$$

となるが、素数 $p$ が $1$ を割り切ることはない。これは矛盾である。

よって

$$ p>n

$$

である。

また、$p$ は $n!-1$ の素因数なので

$$ p\leqq n!-1

$$

である。

したがって

$$ n<p\leqq n!-1

$$

を満たす素数 $p$ が存在する。

よって命題 (2) も真である。

解説

この問題は、階乗 $n!$ が $1,2,\ldots,n$ のすべてで割り切れることを使う典型問題である。

(1) では、$n!+k$ が $k$ で割り切れるため、区間内の数がすべて合成数になる。ただし $n!+1$ は範囲に含まれていない点に注意する。

(2) では、$n!-1$ の素因数を考えるのが自然である。$n!$ と $n!-1$ は互いに素であり、特に $n$ 以下の素数はすべて $n!$ を割り切るため、$n!-1$ の素因数にはなれない。したがって、その素因数は必ず $n$ より大きい。

答え

**(1)**

真である。

**(2)**

真である。