解説

方針・初手

中心間距離を使って、円の接触条件を方程式にする。外側の円 $C$ の中心を $O$ とし、半径 $a,a,2a$ の円の中心をそれぞれ $A,B,D$ とおく。

内接しているので、各中心から $O$ までの距離は

$$ OA=OB=1-a,\qquad OD=1-2a

$$

である。また、互いに外接しているので

$$ AB=2a,\qquad AD=BD=3a

$$

である。

解法1

半径が等しい $C_1,C_2$ の中心を $A,B$、半径が $2a$ の円 $C_3$ の中心を $D$ とする。

$OA=OB$ かつ $AD=BD$ であるから、点 $O,D$ は線分 $AB$ の垂直二等分線上にある。したがって、$AB$ の中点を $M$ とすると、$O,M,D$ は一直線上にある。

ここで

$$ AB=2a

$$

より

$$ AM=a

$$

である。

まず、直角三角形 $OAM$ について、$OA=1-a$ だから

$$ OM^2=OA^2-AM^2=(1-a)^2-a^2=1-2a

$$

である。

次に、直角三角形 $DAM$ について、$DA=3a$ だから

$$ DM^2=DA^2-AM^2=(3a)^2-a^2=8a^2

$$

である。

ここで、$D$ は $O$ と $M$ の同じ直線上にあり、$OD=1-2a$ である。配置から $O,M,D$ の順に並ぶので

$$ OD=OM+MD

$$

である。したがって

$$ 1-2a=\sqrt{1-2a}+2\sqrt{2}a

$$

となる。

ここで

$$ t=\sqrt{1-2a}

$$

とおくと、

$$ 1-2a=t^2

$$

より

$$ a=\frac{1-t^2}{2}

$$

である。これを

$$ 1-2a=\sqrt{1-2a}+2\sqrt{2}a

$$

に代入すると

$$ t^2=t+\sqrt{2}(1-t^2)

$$

となる。整理して

$$ (1+\sqrt{2})t^2-t-\sqrt{2}=0

$$

を得る。

これを解くと

$$ t=\frac{1\pm \sqrt{1+4\sqrt{2}(1+\sqrt{2})}}{2(1+\sqrt{2})}

$$

であるが、因数分解すると

$$ (1+\sqrt{2})t^2-t-\sqrt{2} =(t-1){(1+\sqrt{2})t+\sqrt{2}}

$$

となる。よって

$$ t=1

$$

または

$$ t=-\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}

$$

である。

$t=\sqrt{1-2a}\geqq 0$ であり、後者は負であるから不適である。したがって $t=1$ となるが、これは $a=0$ を与える。これは円の半径として不適である。

ここで、上の並び順の仮定を見直す必要がある。実際には半径 $2a$ の円の中心 $D$ は、線分 $AB$ に対して $O$ とは反対側にある。したがって

$$ OD=|DM-OM|

$$

である。

よって

$$ 1-2a=2\sqrt{2}a-\sqrt{1-2a}

$$

となる。

再び

$$ t=\sqrt{1-2a}

$$

とおくと、

$$ a=\frac{1-t^2}{2}

$$

であるから

$$ t^2=\sqrt{2}(1-t^2)-t

$$

となる。整理して

$$ (1+\sqrt{2})t^2+t-\sqrt{2}=0

$$

を得る。

これは

$$ (t+\sqrt{2}){(1+\sqrt{2})t-1}=0

$$

と因数分解できる。$t\geqq 0$ より

$$ t=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1

$$

である。

したがって

$$ 1-2a=t^2=(\sqrt{2}-1)^2=3-2\sqrt{2}

$$

より

$$ 2a=1-(3-2\sqrt{2})=2\sqrt{2}-2

$$

である。よって

$$ a=\sqrt{2}-1

$$

となる。

しかし、この値は $2a<1$ を満たす一方で、接触条件をすべて代入すると外側の円との配置に矛盾が生じる。したがって、中心の位置関係だけで処理すると符号の取り方を誤りやすい。

より確実に、座標を置いて解き直す。

外側の円 $C$ の中心を原点 $O$、半径 $a$ の2つの円の中心を

$$ A=(-a,y),\qquad B=(a,y)

$$

とおく。すると

$$ AB=2a

$$

であり、$C_1,C_2$ は外接している。

また、$C_1,C_2$ は外側の円 $C$ に内接するから

$$ OA=OB=1-a

$$

である。よって

$$ a^2+y^2=(1-a)^2

$$

から

$$ y^2=1-2a

$$

である。

半径 $2a$ の円の中心を $D=(0,z)$ とおく。$C_3$ は外側の円 $C$ に内接するので

$$ OD=|z|=1-2a

$$

である。

さらに $C_3$ は $C_1,C_2$ に外接するから

$$ AD=BD=3a

$$

である。よって

$$ a^2+(z-y)^2=9a^2

$$

すなわち

$$ (z-y)^2=8a^2

$$

である。

ここで $y^2=1-2a$、$z^2=(1-2a)^2$ を用いて、$a^2+(z-y)^2=9a^2$ を展開する。

$$ \begin{aligned} a^2+z^2-2yz+y^2&=9a^2\\ z^2+y^2-2yz&=8a^2 \end{aligned}

$$

より

$$ 2yz=z^2+y^2-8a^2

$$

である。

ただし、このまま平方根を含めて扱うより、接円の曲率を用いる方が簡潔である。

4つの円が互いに接しているとき、外側の円の曲率を負に取れば、デカルトの円定理より

$$ \begin{aligned} (k_1+k_2+k_3+k_4)^2 &= 2(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2) \end{aligned} $$

が成り立つ。

ここで、半径 $a,a,2a,1$ の円の曲率はそれぞれ

$$ \frac1a,\quad \frac1a,\quad \frac1{2a},\quad -1

$$

である。

$x=\dfrac1a$ とおくと、曲率は

$$ x,\quad x,\quad \frac{x}{2},\quad -1

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \left(x+x+\frac{x}{2}-1\right)^2 &= 2\left(x^2+x^2+\frac{x^2}{4}+1\right) \end{aligned} $$

となる。

整理すると

$$ \begin{aligned} \left(\frac{5x}{2}-1\right)^2 &= 2\left(\frac{9x^2}{4}+1\right) \end{aligned} $$

である。両辺を展開して

$$ \begin{aligned} \frac{25x^2}{4}-5x+1 &= \frac{9x^2}{2}+2 \end{aligned} $$

となる。両辺に $4$ をかけると

$$ 25x^2-20x+4=18x^2+8

$$

より

$$ 7x^2-20x-4=0

$$

である。

これを解くと

$$ x=\frac{20\pm\sqrt{400+112}}{14} =\frac{20\pm16\sqrt{2}}{14} =\frac{10\pm8\sqrt{2}}{7}

$$

である。

$x=\dfrac1a>0$ であるから

$$ x=\frac{10+8\sqrt{2}}{7}

$$

を採用する。したがって

$$ a=\frac{7}{10+8\sqrt{2}}

$$

である。分母を有理化すると

$$ a=\frac{7}{10+8\sqrt{2}} =\frac{7(10-8\sqrt{2})}{100-128} =\frac{8\sqrt{2}-10}{4} =2\sqrt{2}-\frac52

$$

である。

解説

この問題は、3つの小円と外側の円の4円がすべて接している配置である。通常の座標計算でも解けるが、中心の並び順や符号の扱いで誤りやすい。

接円の問題として見ると、外側の円の曲率を負に取ることでデカルトの円定理をそのまま使える。半径 $r$ の円の曲率は $\dfrac1r$、外側から包む円は $-\dfrac1r$ とする点が重要である。

答え

$$ \boxed{a=2\sqrt{2}-\frac52}

$$