解説

方針・初手

正五角形の対称性から、対角線の長さはすべて等しく $r$ である。また、ベクトルはまず $\overrightarrow{BE}=\vec b-\vec a$ のように、始点と終点をそろえて表す。

そのうえで、内積を用いて長さの二乗を計算し、$p=\vec a\cdot \vec b$ と $r$ の関係を作る。

解法1

**(1)**

$$ \overrightarrow{BE} =\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE} =-\vec a+\vec b =\vec b-\vec a

$$

である。

したがって、

$$ r^2 =\left|\overrightarrow{BE}\right|^2 =|\vec b-\vec a|^2

$$

である。ここで $|\vec a|=|\vec b|=1$、$\vec a\cdot \vec b=p$ より、

$$ \begin{aligned} |\vec b-\vec a|^2 &=(\vec b-\vec a)\cdot(\vec b-\vec a)\\ &=|\vec b|^2-2\vec a\cdot \vec b+|\vec a|^2\\ &=1-2p+1\\ &=2-2p \end{aligned}

$$

となる。

よって、

$$ r^2=2-2p

$$

すなわち、

$$ p=1-\frac{r^2}{2}

$$

である。

**(2)**

正五角形では、対角線 $EC$ は辺 $AB$ と平行であり、向きも $\overrightarrow{AB}$ と同じである。また、対角線の長さは $r$ で、$|\vec a|=1$ だから、

$$ \overrightarrow{EC}=r\vec a

$$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AC} &=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EC}\\ &=\vec b+r\vec a \end{aligned}

$$

となる。

また、$AC$ も正五角形の対角線であるから、$|AC|=r$ である。よって、

$$ |\overrightarrow{AC}|^2=r^2

$$

より、

$$ |r\vec a+\vec b|^2=r^2

$$

である。

左辺を展開すると、

$$ \begin{aligned} |r\vec a+\vec b|^2 &=r^2|\vec a|^2+2r\vec a\cdot \vec b+|\vec b|^2\\ &=r^2+2rp+1 \end{aligned}

$$

であるから、

$$ r^2+2rp+1=r^2

$$

となる。

したがって、

$$ 2rp+1=0

$$

より、

$$ pr=-\frac12

$$

である。

**(3)**

（1） で得た

$$ p=1-\frac{r^2}{2}

$$

と、（2） で得た

$$ pr=-\frac12

$$

を用いる。

$pr=-\dfrac12$ より、

$$ p=-\frac{1}{2r}

$$

である。これを

$$ p=1-\frac{r^2}{2}

$$

に代入すると、

$$ -\frac{1}{2r}=1-\frac{r^2}{2}

$$

である。両辺に $2r$ をかけて、

$$ -1=2r-r^3

$$

すなわち、

$$ r^3-2r-1=0

$$

となる。

因数分解すると、

$$ r^3-2r-1=(r+1)(r^2-r-1)

$$

である。$r$ は長さであり、さらに対角線の長さなので $r>0$ であるから、

$$ r^2-r-1=0

$$

を解けばよい。

したがって、

$$ r=\frac{1+\sqrt5}{2}

$$

である。

また、

$$ p=-\frac{1}{2r}

$$

より、

$$ p=-\frac{1}{1+\sqrt5} =\frac{1-\sqrt5}{4}

$$

である。

**(4)**

正五角形の1つの内角は

$$ \frac{(5-2)180^\circ}{5}=108^\circ

$$

である。

三角形 $ABC$ において、$AB=BC=1$ であるから、二等辺三角形であり、

$$ \angle BAC=\angle ACB

$$

である。また、

$$ \angle ABC=108^\circ

$$

だから、

$$ 2\angle BAC+108^\circ=180^\circ

$$

である。

よって、

$$ \angle BAC=36^\circ

$$

である。

次に、三角形 $ABC$ において余弦定理を用いる。$AB=1$、$BC=1$、$AC=r$ であり、角 $\angle BAC$ の向かいの辺は $BC$ であるから、

$$ BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos\angle BAC

$$

より、

$$ 1=1+r^2-2r\cos36^\circ

$$

である。

したがって、

$$ 2r\cos36^\circ=r^2

$$

より、

$$ \cos36^\circ=\frac{r}{2}

$$

である。

$r=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ を代入して、

$$ \cos36^\circ=\frac{1+\sqrt5}{4}

$$

となる。

解説

この問題の中心は、正五角形の対角線の長さを $r$ とおき、ベクトルの長さの二乗を内積で表すことである。

特に、

$$ \overrightarrow{BE}=\vec b-\vec a

$$

から $r^2=2-2p$ を得る部分と、

$$ \overrightarrow{AC}=r\vec a+\vec b

$$

から $pr=-\dfrac12$ を得る部分が重要である。

ここで $\overrightarrow{AC}$ を表す際、$EC$ が $AB$ と平行で、長さが $r$ であることを使う。これにより、図形的な性質とベクトル計算が結びつく。

答え

**(1)**

$$ \overrightarrow{BE}=\vec b-\vec a

$$

$$ r^2=2-2p

$$

すなわち、

$$ p=1-\frac{r^2}{2}

$$

**(2)**

$$ \overrightarrow{AC}=r\vec a+\vec b

$$

$$ pr=-\frac12

$$

**(3)**

$$ r=\frac{1+\sqrt5}{2}

$$

$$ p=\frac{1-\sqrt5}{4}

$$

**(4)**

$$ \angle BAC=36^\circ

$$

$$ \cos36^\circ=\frac{1+\sqrt5}{4}

$$