解説

方針・初手

放物線 $y=x^2$ 上の点は、$x$ 座標を用いて $(t,t^2)$ と表せる。

点 $P,Q$ を通る直線の傾きが $\sqrt{2}$ であることから、$P,Q$ の $x$ 座標の和が決まる。さらに、$PQ$ を一辺とする正三角形の第3頂点 $R$ を、線分 $PQ$ の中点から垂直方向に移動した点として表し、その点が再び放物線上にある条件を立てる。

解法1

点 $P,Q$ の $x$ 座標をそれぞれ $p,q$ とする。ただし $p \neq q$ である。

$$ P=(p,p^2),\qquad Q=(q,q^2)

$$

点 $P,Q$ を通る直線の傾きは

$$ \frac{q^2-p^2}{q-p}=p+q

$$

であるから、条件より

$$ p+q=\sqrt{2}

$$

である。

ここで

$$ q-p=t

$$

とおく。点 $P,Q$ を入れ替えればよいので、$t>0$ としてよい。このとき

$$ p=\frac{\sqrt{2}-t}{2},\qquad q=\frac{\sqrt{2}+t}{2}

$$

である。

線分 $PQ$ の長さは

$$ PQ=\sqrt{(q-p)^2+(q^2-p^2)^2}

$$

である。ここで $q^2-p^2=(q-p)(p+q)=\sqrt{2}t$ だから、

$$ PQ=\sqrt{t^2+2t^2}=\sqrt{3}t

$$

となる。したがって、正三角形の一辺の長さは

$$ a=\sqrt{3}t

$$

である。

次に、正三角形の第3頂点 $R$ を求める。線分 $PQ$ の中点を $M$ とすると、

$$ M=\left(\frac{p+q}{2},\frac{p^2+q^2}{2}\right)

$$

である。

$p+q=\sqrt{2}$、また

$$ p^2+q^2=(p+q)^2-2pq

$$

を直接計算してもよいが、$p,q$ の表示から

$$ p^2+q^2=\frac{(\sqrt{2}-t)^2+(\sqrt{2}+t)^2}{4} =\frac{4+2t^2}{4} =\frac{2+t^2}{2}

$$

である。よって

$$ M=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{2+t^2}{4}\right)

$$

である。

直線 $PQ$ の傾きは $\sqrt{2}$ なので、$PQ$ に垂直な方向ベクトルとして

$$ (-\sqrt{2},1)

$$

を取れる。この長さは $\sqrt{3}$ であるから、単位ベクトルは

$$ \frac{1}{\sqrt{3}}(-\sqrt{2},1)

$$

である。

正三角形の高さは

$$ \frac{\sqrt{3}}{2}PQ=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}t=\frac{3t}{2}

$$

である。したがって、第3頂点 $R$ は

$$ R=M\pm \frac{3t}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}(-\sqrt{2},1)

$$

と表される。すなわち

$$ R=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\mp \frac{\sqrt{6}}{2}t,\frac{2+t^2}{4}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}t\right)

$$

である。

複号を $\varepsilon=\pm 1$ として

$$ R=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\varepsilon\frac{\sqrt{6}}{2}t,\frac{2+t^2}{4}+\varepsilon\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)

$$

と書く。

点 $R$ も放物線 $y=x^2$ 上にあるので、

$$ \begin{aligned} \frac{2+t^2}{4}+\varepsilon\frac{\sqrt{3}}{2}t &= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\varepsilon\frac{\sqrt{6}}{2}t\right)^2 \end{aligned} $$

が成り立つ。

右辺を展開すると、

$$ \begin{aligned} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\varepsilon\frac{\sqrt{6}}{2}t\right)^2 &= \frac12-\varepsilon\sqrt{3}t+\frac32t^2 \end{aligned} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} \frac{2+t^2}{4}+\varepsilon\frac{\sqrt{3}}{2}t &= \frac12-\varepsilon\sqrt{3}t+\frac32t^2 \end{aligned} $$

となる。

両辺を $4$ 倍して整理すると、

$$ \begin{aligned} 2+t^2+2\varepsilon\sqrt{3}t &= 2-4\varepsilon\sqrt{3}t+6t^2 \end{aligned} $$

したがって

$$ 5t^2-6\varepsilon\sqrt{3}t=0

$$

である。

$t>0$ だから、

$$ 5t-6\varepsilon\sqrt{3}=0

$$

でなければならない。ここで $t>0$ より $\varepsilon=1$ であり、

$$ t=\frac{6\sqrt{3}}{5}

$$

を得る。

したがって、一辺の長さ $a$ は

$$ a=\sqrt{3}t=\sqrt{3}\cdot \frac{6\sqrt{3}}{5} =\frac{18}{5}

$$

である。

解説

この問題の要点は、放物線上の2点 $(p,p^2),(q,q^2)$ を結ぶ直線の傾きが

$$ \frac{q^2-p^2}{q-p}=p+q

$$

となることである。傾きの条件から $p+q=\sqrt{2}$ が固定されるため、残る自由度は $q-p$ のみになる。

正三角形の第3頂点は、辺 $PQ$ の中点から $PQ$ に垂直な方向へ、正三角形の高さだけ移動した点である。この点が再び放物線 $y=x^2$ 上にあるという条件を立てれば、$q-p$ が決まり、そこから一辺の長さ $a$ が求まる。

答え

$$ \boxed{\frac{18}{5}}

$$