解説

方針・初手

中心が $y$ 軸上にある円が放物線 $y=x^2$ に接する条件を、円の半径と中心の $y$ 座標の関係として表す。

そのうえで、隣り合う円が外接していることから、半径の漸化式を作る。

解法1

円 $O_n$ の中心を $(0,p_n)$、半径を $r_n$ とする。

円が放物線 $y=x^2$ に接する点を $(a,a^2)$ とする。まず $a\ne 0$ の場合を考える。放物線 $y=x^2$ の接線の傾きは $2a$ であるから、接点と円の中心を結ぶ半径はこの接線に垂直である。

したがって、半径の傾きは

$$ -\frac{1}{2a}

$$

である。一方、中心 $(0,p_n)$ と接点 $(a,a^2)$ を結ぶ直線の傾きは

$$ \frac{a^2-p_n}{a}

$$

であるから、

$$ \frac{a^2-p_n}{a}=-\frac{1}{2a}

$$

となる。よって

$$ a^2-p_n=-\frac{1}{2}

$$

すなわち

$$ p_n=a^2+\frac{1}{2}

$$

である。

このとき半径 $r_n$ は

$$ r_n^2=a^2+\left(a^2-p_n\right)^2

$$

である。ここで $a^2-p_n=-\dfrac{1}{2}$ だから、

$$ r_n^2=a^2+\frac{1}{4}

$$

となる。また $a^2=p_n-\dfrac{1}{2}$ より、

$$ r_n^2=p_n-\frac{1}{2}+\frac{1}{4} =p_n-\frac{1}{4}

$$

である。したがって

$$ p_n=r_n^2+\frac{1}{4}

$$

が成り立つ。

なお、$n=1$ の円は中心 $(0,\dfrac12)$、半径 $\dfrac12$ であるから、

$$ p_1=\frac{1}{2},\qquad r_1=\frac{1}{2}

$$

であり、上の関係式

$$ p_1=r_1^2+\frac{1}{4}

$$

も満たしている。

次に、$O_{n+1}$ は $O_n$ に外接しており、中心はともに $y$ 軸上にある。また条件より

$$ 0<p_n<p_{n+1}

$$

であるから、中心間の距離は

$$ p_{n+1}-p_n

$$

である。

外接しているので、中心間の距離は半径の和に等しい。したがって

$$ p_{n+1}-p_n=r_{n+1}+r_n

$$

である。

ここで

$$ p_n=r_n^2+\frac{1}{4}

$$

を用いると、

$$ \left(r_{n+1}^2+\frac{1}{4}\right)-\left(r_n^2+\frac{1}{4}\right) =r_{n+1}+r_n

$$

となる。整理すると

$$ r_{n+1}^2-r_n^2=r_{n+1}+r_n

$$

であるから、

$$ (r_{n+1}-r_n)(r_{n+1}+r_n)=r_{n+1}+r_n

$$

となる。

半径は正であるため $r_{n+1}+r_n>0$ である。よって両辺を $r_{n+1}+r_n$ で割ると、

$$ r_{n+1}-r_n=1

$$

を得る。

したがって、半径は初項 $\dfrac12$、公差 $1$ の等差数列であるから、

$$ r_n=\frac{1}{2}+(n-1)=n-\frac{1}{2}

$$

である。

よって円 $O_n$ の直径は

$$ 2r_n=2\left(n-\frac{1}{2}\right)=2n-1

$$

である。

また、中心の $y$ 座標 $p_n$ は

$$ p_n=r_n^2+\frac{1}{4}

$$

より、

$$ p_n=\left(n-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}

$$

である。これを展開すると、

$$ p_n=n^2-n+\frac{1}{2}

$$

となる。

解説

この問題の核は、放物線に接する円の条件を半径 $r_n$ と中心の高さ $p_n$ の関係に直すことである。

中心が $y$ 軸上にあるため、円は放物線に対して左右対称に接する形になる。接点を直接求め切る必要はなく、接線と半径が垂直であることを使えば

$$ p_n=r_n^2+\frac{1}{4}

$$

という関係が得られる。

あとは隣り合う円が外接する条件

$$ p_{n+1}-p_n=r_{n+1}+r_n

$$

に代入するだけで、半径について

$$ r_{n+1}-r_n=1

$$

という単純な等差数列になる。

答え

円 $O_n$ の半径は

$$ r_n=n-\frac{1}{2}

$$

である。

したがって、円 $O_n$ の直径は

$$ \boxed{2n-1}

$$

である。

また、中心の $y$ 座標は

$$ \boxed{p_n=n^2-n+\frac{1}{2}}

$$

である。