解説

方針・初手

座標平面を複素平面とみなし、放物線上の点 $(p,p^2)$ を複素数 $p+ip^2$ で表す。

3点が正三角形をなす条件を、複素数の式

$$ (z_P-z_Q)^2+(z_Q-z_R)^2+(z_R-z_P)^2=0

$$

で表し、実部・虚部を比較する。最後は対称式

$$ s=p+q+r,\quad t=pq+qr+rp,\quad u=pqr

$$

で整理する。

解法1

放物線 $y=x^2$ 上の点 $P,Q,R$ を

$$ z_P=p+ip^2,\quad z_Q=q+iq^2,\quad z_R=r+ir^2

$$

と表す。

3点が正三角形をなすことは

$$ (z_P-z_Q)^2+(z_Q-z_R)^2+(z_R-z_P)^2=0

$$

と同値である。実際、3つの辺を表す複素数の比が $60^\circ$ 回転を表す複素数になることを用いればよい。

ここで

$$ z_P-z_Q=(p-q)+i(p^2-q^2)=(p-q){1+i(p+q)}

$$

であるから、

$$ (z_P-z_Q)^2=(p-q)^2{1-(p+q)^2+2i(p+q)}

$$

となる。同様に $Q,R$、$R,P$ についても考えると、実部と虚部から

$$ \sum_{\mathrm{cyc}}(p-q)^2{1-(p+q)^2}=0

$$

および

$$ \sum_{\mathrm{cyc}}(p-q)^2(p+q)=0

$$

を得る。ただし、$\sum_{\mathrm{cyc}}$ は $(p,q),(q,r),(r,p)$ についての和である。

ここで

$$ s=p+q+r,\quad t=pq+qr+rp,\quad u=pqr

$$

とおく。

まず虚部の式は

$$ \sum_{\mathrm{cyc}}(p-q)^2(p+q)=2s^3-7st+9u

$$

と整理できるので、

$$ 2s^3-7st+9u=0

$$

である。

次に実部の式は

$$ \sum_{\mathrm{cyc}}(p-q)^2{1-(p+q)^2} =2{s^2-3t-s^4+4s^2t-t^2-6su}

$$

であるから、

$$ s^2-3t-s^4+4s^2t-t^2-6su=0

$$

を得る。

虚部の式より

$$ u=\frac{7st-2s^3}{9}

$$

である。これを実部の式に代入して整理すると、

$$ s^4-2s^2t+3s^2-9t-3t^2=0

$$

となる。

いま

$$ X=p^2+q^2+r^2

$$

とおくと、

$$ X=s^2-2t

$$

である。したがって $s^2=X+2t$ を代入すると、

$$ X^2+(2t+3)X-3t(t+1)=0

$$

となる。左辺を因数分解して

$$ (X-t)(X+3t+3)=0

$$

を得る。

ここで

$$ X-t=p^2+q^2+r^2-pq-qr-rp =\frac12{(p-q)^2+(q-r)^2+(r-p)^2}

$$

である。もし $X=t$ なら $p=q=r$ となり、$P,Q,R$ が相異なる3点であることに反する。

よって

$$ X+3t+3=0

$$

であり、

$$ p^2+q^2+r^2=-3(pq+qr+rp)-3

$$

となる。

次に、$\triangle PQR$ の重心を $G=(\xi,\eta)$ とする。

重心の座標は

$$ \xi=\frac{p+q+r}{3}=\frac{s}{3}

$$

および

$$ \eta=\frac{p^2+q^2+r^2}{3}=\frac{X}{3}

$$

である。

さきほど得た

$$ X=-3t-3

$$

と

$$ X=s^2-2t

$$

を合わせると、

$$ s^2-2t=-3t-3

$$

より

$$ t=-s^2-3

$$

である。したがって

$$ X=s^2-2(-s^2-3)=3s^2+6

$$

となる。

ゆえに

$$ \eta=\frac{X}{3}=s^2+2

$$

である。一方で $\xi=s/3$ だから $s=3\xi$ であり、

$$ \eta=9\xi^2+2

$$

を得る。

したがって、重心 $G$ は放物線

$$ y=9x^2+2

$$

上にある。

解説

この問題の中心は、正三角形の条件を直接座標で扱うと計算が複雑になる点である。そこで、点 $(x,x^2)$ を複素数 $x+ix^2$ と見て、正三角形の条件を1本の式にまとめるのが有効である。

その後は対称式 $s=p+q+r,\ t=pq+qr+rp,\ u=pqr$ に直すことで、$p,q,r$ の個別の並びに依存しない形になる。

特に重要なのは、途中で

$$ (X-t)(X+3t+3)=0

$$

が出たあと、$X=t$ を機械的に採用しないことである。この場合は $p=q=r$ となり、3点が相異なるという条件に反する。したがって残る方を採用する。

答え

**(1)**

$$ p^2+q^2+r^2=-3(pq+qr+rp)-3

$$

**(2)**

$\triangle PQR$ の重心は、常に放物線

$$ y=9x^2+2

$$

上にある。