解説

方針・初手

衛星から見える地球の輪郭は、衛星から地球へ引いた接線の接点全体でできる円である。

したがって、地球の中心を $O$、衛星を $P$、接点の1つを $T$ として、直角三角形 $OPT$ を考えればよい。

解法1

地球の中心を $O$、衛星の位置を $P$ とする。地球の半径は $R$ km、衛星は地上 $x$ km にあるから、

$$ OP=R+x

$$

である。

衛星から見える地球の端は、衛星から地球に引いた接線の接点である。接点を $T$ とすると、半径と接線は垂直なので、

$$ OT \perp PT

$$

であり、三角形 $OPT$ は直角三角形である。

ここで、見える円盤の半径は、接点全体が作る円の半径である。$OP$ を軸として考えると、その円の中心を $H$ とすれば、$OH$ は $OP$ 上にあり、求める半径は $HT$ である。

直角三角形 $OPT$ において、$OT=R$、$OP=R+x$ である。また、$OH$ は $OT$ の $OP$ 方向の成分だから、

$$ \cos \angle POT=\frac{OT}{OP}=\frac{R}{R+x}

$$

より、

$$ OH=OT\cos \angle POT =R\cdot \frac{R}{R+x} =\frac{R^2}{R+x}

$$

となる。

したがって、見える円盤の半径 $HT$ は、直角三角形 $OHT$ より、

$$ HT^2=OT^2-OH^2

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} HT^2 &=R^2-\left(\frac{R^2}{R+x}\right)^2 \\ &=R^2\left\{1-\frac{R^2}{(R+x)^2}\right\} \\ &=R^2\cdot \frac{(R+x)^2-R^2}{(R+x)^2} \\ &=R^2\cdot \frac{x(2R+x)}{(R+x)^2}. \end{aligned}

$$

よって、

$$ HT=\frac{R\sqrt{x(2R+x)}}{R+x}

$$

である。

解説

衛星から見える地球の輪郭は、地球の表面上の「接点の集合」である。断面図だけを見ると接点は2点に見えるが、実際には $OP$ を軸として回転させた円になる。

この問題で間違えやすいのは、衛星から接点までの距離

$$ PT=\sqrt{(R+x)^2-R^2}=\sqrt{x(2R+x)}

$$

を円盤の半径としてしまうことである。これは「衛星から地平線までの直線距離」であり、見える円盤そのものの半径ではない。

円盤の半径は、接点全体が作る円の半径なので、

$$ \frac{R\sqrt{x(2R+x)}}{R+x}

$$

となる。

答え

$$ \boxed{\frac{R\sqrt{x(2R+x)}}{R+x}}

$$