解説

方針・初手

面積比はアフィン変換で不変なので、三角形 $ABC$ を扱いやすい座標に置く。各点 $L,M,N$ は辺を $1:2$ に内分する点であり、直線 $AL,BM,CN$ の交点を座標で求めればよい。

解法1

面積比だけを求めればよいので、三角形 $ABC$ を

$$ A=(0,0),\quad B=(1,0),\quad C=(0,1)

$$

とおく。このとき、$\triangle ABC$ の面積は

$$ \frac{1}{2}

$$

である。

まず、条件より各点の座標を求める。

$BL:LC=1:2$ であるから、$L$ は $B$ から $C$ へ向かって $\frac{1}{3}$ 進んだ点である。したがって

$$ L=\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)

$$

である。

同様に、

$$ M=\left(0,\frac{2}{3}\right),\quad N=\left(\frac{1}{3},0\right)

$$

である。

次に、3本の直線の方程式を求める。

直線 $AL$ は原点 $A$ と $L\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)$ を通るので、傾きは $\frac{1}{2}$ である。よって

$$ AL:\ y=\frac{1}{2}x

$$

である。

直線 $BM$ は $B(1,0)$ と $M\left(0,\frac{2}{3}\right)$ を通るので、

$$ BM:\ y=-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}

$$

である。

直線 $CN$ は $C(0,1)$ と $N\left(\frac{1}{3},0\right)$ を通るので、

$$ CN:\ y=-3x+1

$$

である。

まず、$P$ は $AL$ と $CN$ の交点であるから、

$$ \frac{1}{2}x=-3x+1

$$

より

$$ \frac{7}{2}x=1

$$

となる。したがって

$$ x=\frac{2}{7},\quad y=\frac{1}{7}

$$

であり、

$$ P=\left(\frac{2}{7},\frac{1}{7}\right)

$$

である。

次に、$Q$ は $AL$ と $BM$ の交点であるから、

$$ \frac{1}{2}x=-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}

$$

より

$$ \frac{7}{6}x=\frac{2}{3}

$$

となる。したがって

$$ x=\frac{4}{7},\quad y=\frac{2}{7}

$$

であり、

$$ Q=\left(\frac{4}{7},\frac{2}{7}\right)

$$

である。

最後に、$R$ は $BM$ と $CN$ の交点であるから、

$$ -\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}=-3x+1

$$

より

$$ \frac{7}{3}x=\frac{1}{3}

$$

となる。したがって

$$ x=\frac{1}{7},\quad y=\frac{4}{7}

$$

であり、

$$ R=\left(\frac{1}{7},\frac{4}{7}\right)

$$

である。

よって、$\triangle PQR$ の面積は

$$ \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} \frac{4}{7}-\frac{2}{7} & \frac{2}{7}-\frac{1}{7} \\ \frac{1}{7}-\frac{2}{7} & \frac{4}{7}-\frac{1}{7} \end{vmatrix} \right|

$$

である。

これを計算すると、

$$ \begin{aligned} [\triangle PQR] &= \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} \frac{2}{7} & \frac{1}{7} \\ -\frac{1}{7} & \frac{3}{7} \end{vmatrix} \right| \\ &= \frac{1}{2} \left| \frac{6}{49}+\frac{1}{49} \right| \\ &= \frac{1}{2}\cdot \frac{7}{49} \\ &= \frac{1}{14} \end{aligned}

$$

となる。

一方、

$$ [\triangle ABC]=\frac{1}{2}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{[\triangle PQR]}{[\triangle ABC]} &= \frac{\frac{1}{14}}{\frac{1}{2}} \\ \frac{1}{7} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、三角形の具体的な形は面積比に影響しない。したがって、最初に $A=(0,0),B=(1,0),C=(0,1)$ と置くのが最も処理しやすい。

ポイントは、$BL:LC=CM:MA=AN:NB=1:2$ であるため、各点がそれぞれの辺上で「始点から $\frac{1}{3}$」の位置にあることである。あとは3本の直線 $AL,BM,CN$ の交点を求め、座標平面上で面積を計算すればよい。

計算量は多くないが、$L,M,N$ の内分の向きを取り違えると答えが変わる。特に $BL:LC=1:2$ は、$L$ が $B$ に近い点であることに注意する。

答え

$$ \frac{[\triangle PQR]}{[\triangle ABC]}=\frac{1}{7}

$$