解説

方針・初手

$AP=x$ とおく。$P,Q$ から $BC$ に平行な直線を引いているので、三角形 $APR$、$AQS$ はいずれも三角形 $ABC$ と相似である。

台形 $PQSR$ は、三角形 $AQS$ から三角形 $APR$ を取り除いた部分として面積を表せる。あとは $x$ の二次関数を最大化すればよい。

解法1

$AP=x$ とおく。$0\leqq x\leqq a$ である。

$AB=a$ より、

$$ BP=a-x

$$

である。$Q$ は $BP$ の中点だから、

$$ BQ=QP=\frac{a-x}{2}

$$

となる。したがって

$$ AQ=AB-BQ=a-\frac{a-x}{2}=\frac{a+x}{2}

$$

である。

$PR\parallel BC$ より、三角形 $APR$ と三角形 $ABC$ は相似であり、相似比は

$$ \frac{AP}{AB}=\frac{x}{a}

$$

である。よって面積比は相似比の二乗だから、

$$ [APR]=\left(\frac{x}{a}\right)^2s

$$

である。

同様に、$QS\parallel BC$ より三角形 $AQS$ と三角形 $ABC$ は相似であり、相似比は

$$ \frac{AQ}{AB}=\frac{a+x}{2a}

$$

である。したがって

$$ [AQS]=\left(\frac{a+x}{2a}\right)^2s

$$

となる。

台形 $PQSR$ は三角形 $AQS$ から三角形 $APR$ を除いた部分なので、その面積を $T$ とすると、

$$ \begin{aligned} T &=[AQS]-[APR]\\ &=\left\{\left(\frac{a+x}{2a}\right)^2-\left(\frac{x}{a}\right)^2\right\}s\\ &=\frac{(a+x)^2-4x^2}{4a^2}s\\ &=\frac{a^2+2ax-3x^2}{4a^2}s \end{aligned}

$$

である。

ここで

$$ a^2+2ax-3x^2

$$

は $x$ について上に凸の二次関数である。平方完成すると、

$$ \begin{aligned} a^2+2ax-3x^2 &=-3\left(x^2-\frac{2a}{3}x\right)+a^2\\ &=-3\left(x-\frac{a}{3}\right)^2+\frac{4a^2}{3} \end{aligned}

$$

となる。

したがって、$T$ は

$$ x=\frac{a}{3}

$$

のとき最大となる。このとき

$$ T_{\max} =\frac{1}{4a^2}\cdot \frac{4a^2}{3}s =\frac{s}{3}

$$

である。

ゆえに、台形 $PQSR$ の面積が最大となるのは

$$ AP=\frac{a}{3}

$$

のときであり、その最大面積は

$$ \frac{s}{3}

$$

である。

解説

この問題の中心は、台形を直接扱わず、

$$ [PQSR]=[AQS]-[APR]

$$

と見ることである。

$P,Q$ から $BC$ に平行線を引いているため、三角形 $APR$、$AQS$ はともに三角形 $ABC$ と相似になる。したがって、面積は $AP$ や $AQ$ の長さの二乗に比例する。

また、$Q$ が $BP$ の中点であるため、$AQ$ は $AP$ だけでなく $AB$ にも依存し、

$$ AQ=\frac{a+x}{2}

$$

となる。この処理を誤ると面積式がずれるので注意が必要である。

最終的には $x=AP$ に関する二次関数の最大値問題に帰着する。

答え

$$ AP=\frac{a}{3}

$$

このとき、台形 $PQSR$ の面積の最大値は

$$ \frac{s}{3}

$$