解説

方針・初手

平行四辺形では、2本の対角線の長さの平方和が、4辺の長さの平方和に対応する。まずこれを用いて $x^2+y^2$ を求める。

後半は、対角線の交点を $O$ とし、各頂点と $O$ との距離を対角線の半分として考える。円の半径は $\dfrac{5}{2}$ である。

解法1

$\vec{AB}=\mathbf{u}$、$\vec{AD}=\mathbf{v}$ とおくと、

$$ |\mathbf{u}|=3,\qquad |\mathbf{v}|=4

$$

である。

対角線 $AC$ は $\mathbf{u}+\mathbf{v}$、対角線 $BD$ は $\mathbf{v}-\mathbf{u}$ で表されるから、

$$ x=|\mathbf{u}+\mathbf{v}|,\qquad y=|\mathbf{v}-\mathbf{u}|

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} x^2+y^2 &=|\mathbf{u}+\mathbf{v}|^2+|\mathbf{v}-\mathbf{u}|^2 \\ &=(|\mathbf{u}|^2+2\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+|\mathbf{v}|^2) +(|\mathbf{v}|^2-2\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+|\mathbf{u}|^2) \\ &=2|\mathbf{u}|^2+2|\mathbf{v}|^2 \\ &=2\cdot 3^2+2\cdot 4^2 \\ &=50 \end{aligned}

$$

よって、

$$ x^2+y^2=50

$$

である。

次に、対角線の交点を $O$ とする。平行四辺形の対角線は互いに中点で交わるので、

$$ OA=OC=\frac{x}{2},\qquad OB=OD=\frac{y}{2}

$$

である。

円の直径は $5$ だから、半径は

$$ \frac{5}{2}

$$

である。したがって、頂点がこの円の上にあるかどうかは、対応する対角線の長さが $5$ であるかどうかで決まる。

ここで、

$$ x^2+y^2=50

$$

であるから、

$$ \left(\frac{x}{2}\right)^2+\left(\frac{y}{2}\right)^2=\frac{25}{2}

$$

である。

**(i)**

$x=y$ の場合

このとき、

$$ 2x^2=50

$$

より、

$$ x=y=5

$$

である。したがって、

$$ OA=OB=OC=OD=\frac{5}{2}

$$

となり、4頂点すべてが円周上にある。

また、各辺は円周上の2点を結ぶ線分であり、円とその直線との共有点は端点の2点だけである。したがって、平行四辺形の周と円の共有点は4頂点のみで、個数は $4$ 個である。

**(ii)**

$x\ne y$ の場合

$x^2+y^2=50$ であるから、一方は $5$ より大きく、他方は $5$ より小さい。したがって、一方の対角線の両端の2頂点は円の外側にあり、もう一方の対角線の両端の2頂点は円の内側にある。

各辺は、円の内側にある頂点と外側にある頂点を結ぶ線分である。円の内部を含む円板は凸図形なので、その線分は円周とちょうど1点で交わる。

よって、4辺それぞれに共有点が1個ずつあり、合計で

$$ 4

$$

個である。

以上より、いずれの場合も、円と平行四辺形の周との共有点の個数は $4$ 個である。

解説

この問題の前半は、平行四辺形の対角線に関する基本公式

$$ AC^2+BD^2=2(AB^2+AD^2)

$$

を用いる問題である。角度が与えられていなくても、対角線の平方和は辺の長さだけで決まる。

後半では、円の中心が対角線の交点であることが重要である。対角線の交点から各頂点までの距離は、対角線の半分になる。したがって、頂点が円の内側・外側・円周上のどこにあるかを、$x$ と $y$ の大小で判断できる。

$x=y$ の特殊な場合を別に見れば、残りの場合では各辺が必ず「内側の頂点」と「外側の頂点」を結ぶため、各辺で1点ずつ円周と交わる。ここを見落として、図形の形によって個数が変わると考えると誤りである。

答え

**(1)**

$$ x^2+y^2=50

$$

**(2)**

$$ 4\text{個}

$$