基礎問題集
数学A 図形の性質「平面図形」の問題20 解説
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解説
方針・初手
中点を扱う問題なので、ベクトルで各点の位置を表すと処理しやすい。 三角形の頂点の位置ベクトルを $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ とし、3つの中線が通る共通の点の候補を
$$ \mathbf{g}=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}{3}
$$
とおく。この点が $AD,BE,CF$ のすべての上にあり、それぞれを $2:1$ に内分することを示せばよい。
解法1
点 $A,B,C$ の位置ベクトルをそれぞれ
$$ \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}
$$
とする。
$D,E,F$ はそれぞれ $BC,CA,AB$ の中点であるから、その位置ベクトルは
$$ \mathbf{d}=\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2},\qquad \mathbf{e}=\frac{\mathbf{c}+\mathbf{a}}{2},\qquad \mathbf{f}=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2}
$$
である。
ここで、点 $G$ の位置ベクトルを
$$ \mathbf{g}=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}{3}
$$
とおく。
まず、$G$ が線分 $AD$ 上にあることを示す。$\mathbf{d}=\dfrac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}$ より、
$$ \begin{aligned} \mathbf{g} &=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}{3}\\ &=\frac{1}{3}\mathbf{a}+\frac{2}{3}\cdot\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}\\ &=\frac{1}{3}\mathbf{a}+\frac{2}{3}\mathbf{d} \end{aligned}
$$
となる。
したがって、$G$ は $A$ と $D$ を結ぶ線分上にあり、
$$ AG:GD=2:1
$$
である。
次に、$G$ が線分 $BE$ 上にあることを示す。$\mathbf{e}=\dfrac{\mathbf{c}+\mathbf{a}}{2}$ より、
$$ \begin{aligned} \mathbf{g} &=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}{3}\\ &=\frac{1}{3}\mathbf{b}+\frac{2}{3}\cdot\frac{\mathbf{c}+\mathbf{a}}{2}\\ &=\frac{1}{3}\mathbf{b}+\frac{2}{3}\mathbf{e} \end{aligned}
$$
となる。
したがって、$G$ は $B$ と $E$ を結ぶ線分上にあり、
$$ BG:GE=2:1
$$
である。
同様に、$F$ は $AB$ の中点であるから、$\mathbf{f}=\dfrac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2}$ であり、
$$ \begin{aligned} \mathbf{g} &=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}{3}\\ &=\frac{1}{3}\mathbf{c}+\frac{2}{3}\cdot\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2}\\ &=\frac{1}{3}\mathbf{c}+\frac{2}{3}\mathbf{f} \end{aligned}
$$
となる。
したがって、$G$ は $C$ と $F$ を結ぶ線分上にあり、
$$ CG:GF=2:1
$$
である。
以上より、線分 $AD,BE,CF$ はいずれも同じ点 $G$ を通り、
$$ AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:1
$$
が成り立つ。
解説
三角形の各頂点と対辺の中点を結ぶ線分を中線という。3本の中線は1点で交わり、その交点を重心という。
この問題では、重心の位置ベクトル
$$ \frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}{3}
$$
を直接作ることで、3本の中線が同じ点を通ることと、その点が各中線を $2:1$ に内分することを同時に示している。
比の向きに注意する必要がある。たとえば $AD$ 上では、$G$ は $A$ から見て $D$ へ向かって全体の $\dfrac{2}{3}$ の位置にあるので、
$$ AG:GD=2:1
$$
である。
答え
線分 $AD,BE,CF$ は1点 $G$ で交わり、
$$ AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:1
$$
である。