解説

方針・初手

内角の二等分線については、角の二等分線定理を用いる。

外角の二等分線についても、外角の二等分線定理を用いる。ただし、外角の二等分線は辺 $BC$ の延長上で交わるので、内分ではなく外分として扱う点に注意する。

解法1

まず、$\angle A$ の内角の二等分線が $BC$ と交わる点を $P$ とする。

角の二等分線定理より、

$$ BP:PC=AB:AC

$$

である。いま $AB=5,\ AC=3$ だから、

$$ BP:PC=5:3

$$

また、

$$ BP+PC=BC=4

$$

である。したがって、

$$ BP=4\cdot \frac{5}{5+3}=\frac{5}{2}

$$

$$ PC=4\cdot \frac{3}{5+3}=\frac{3}{2}

$$

となる。

次に、頂点 $A$ における外角の二等分線が直線 $BC$ と交わる点を $Q$ とする。

外角の二等分線定理より、点 $Q$ は $BC$ を外分し、

$$ BQ:CQ=AB:AC=5:3

$$

を満たす。

ここで $AB>AC$ なので、$Q$ は $C$ 側の延長上にある。よって、

$$ BQ=BC+CQ=4+CQ

$$

である。

外分比より、

$$ \frac{BQ}{CQ}=\frac{5}{3}

$$

だから、

$$ \frac{4+CQ}{CQ}=\frac{5}{3}

$$

これを解くと、

$$ 3(4+CQ)=5CQ

$$

$$ 12+3CQ=5CQ

$$

$$ CQ=6

$$

である。

解法2

座標を用いて確認する。

$B=(0,0),\ C=(4,0)$ とおく。$BC=4,\ AC=3,\ AB=5$ であるから、三角形 $ABC$ は $C$ を直角とする直角三角形であり、例えば

$$ A=(4,3)

$$

とおける。

内角の二等分線定理より、

$$ BP:PC=5:3

$$

であるから、$BC=4$ より

$$ BP=\frac{5}{2},\qquad PC=\frac{3}{2}

$$

となる。

外角の二等分線の交点 $Q$ を $x$ 軸上の点 $Q=(q,0)$ とする。外角の二等分線定理より、$Q$ は $BC$ を外分し、

$$ \frac{BQ}{CQ}=\frac{5}{3}

$$

を満たす。

$Q$ は $C$ 側の延長上にあるので $q>4$ であり、

$$ BQ=q,\qquad CQ=q-4

$$

である。したがって、

$$ \frac{q}{q-4}=\frac{5}{3}

$$

これを解くと、

$$ 3q=5q-20

$$

$$ q=10

$$

よって、

$$ CQ=q-4=6

$$

である。

解説

内角の二等分線は対辺を隣り合う二辺の比に内分する。一方、外角の二等分線は対辺の延長を同じ比に外分する。

この問題では $AB:AC=5:3$ なので、内角の二等分線では $BC=4$ を $5:3$ に分ければよい。外角の二等分線では、$Q$ が辺 $BC$ 上ではなく延長上にあるため、$BQ=BC+CQ$ と置くことが重要である。

答え

$$ BP=\frac{5}{2},\qquad PC=\frac{3}{2},\qquad CQ=6

$$