基礎問題集
数学A 図形の性質「平面図形」の問題25 解説
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解説
方針・初手
三角形が存在する条件は、3辺の長さがすべて正であり、どの1辺も他の2辺の和より小さいことである。
直角三角形になる条件は、最も長い辺を斜辺として三平方の定理を立てることで調べる。
解法1
3辺の長さは
$$ a,\quad a-1,\quad 50-a
$$
である。
まず、辺の長さはすべて正でなければならないので、
$$ a>0,\quad a-1>0,\quad 50-a>0
$$
より、
$$ 1<a<50
$$
である。
次に、三角形ができるための条件を立てる。
$$ a+(a-1)>50-a
$$
より、
$$ 2a-1>50-a
$$
したがって、
$$ 3a>51
$$
なので、
$$ a>17
$$
である。
また、
$$ a+(50-a)>a-1
$$
より、
$$ 50>a-1
$$
なので、
$$ a<51
$$
である。
さらに、
$$ (a-1)+(50-a)>a
$$
より、
$$ 49>a
$$
なので、
$$ a<49
$$
である。
以上を合わせると、三角形が存在するための $a$ の範囲は
$$ 17<a<49
$$
である。
次に、この三角形が直角三角形となる場合を考える。
$a>a-1$ であるから、$a-1$ が最も長い辺になることはない。したがって、斜辺は $a$ または $50-a$ である。
**(i)**
$50-a$ が斜辺のとき
このとき
$$ (50-a)^2=a^2+(a-1)^2
$$
である。
展開して整理すると、
$$ 2500-100a+a^2=a^2+(a^2-2a+1)
$$
より、
$$ a^2+98a-2499=0
$$
である。
これを解くと、
$$ (a-21)(a+119)=0
$$
したがって、
$$ a=21,\ -119
$$
である。
ただし、$17<a<49$ であるから、
$$ a=21
$$
が適する。
**(ii)**
$a$ が斜辺のとき
このとき
$$ a^2=(a-1)^2+(50-a)^2
$$
である。
展開して整理すると、
$$ a^2=(a^2-2a+1)+(2500-100a+a^2)
$$
より、
$$ a^2-102a+2501=0
$$
である。
これを解くと、
$$ (a-41)(a-61)=0
$$
したがって、
$$ a=41,\ 61
$$
である。
ただし、$17<a<49$ であるから、
$$ a=41
$$
が適する。
よって、この三角形が直角三角形となるときの $a$ の値は
$$ a=21,\ 41
$$
である。
解説
この問題では、まず三角形の成立条件を漏れなく確認することが重要である。辺の長さが正であることだけでは不十分で、三角不等式も必要になる。
直角三角形の判定では、三平方の定理を使うが、どの辺が斜辺かを決める必要がある。$a>a-1$ なので、$a-1$ が斜辺になる場合は考えなくてよい。斜辺が $50-a$ の場合と $a$ の場合に分ければ十分である。
答え
$a$ の値の範囲は
$$ 17<a<49
$$
である。
この三角形が直角三角形となるとき、
$$ a=21,\ 41
$$
である。