解説

方針・初手

点 $P,Q,R$ の位置を、$\vec{AB},\vec{AC}$ を基準にして表す。 $R$ は辺 $BC$ 上の点なので、$BR:CR$ を $t:1-t$ とおいて、直線 $PQ$ 上にある条件から $t$ を求める。

解法1

$\vec{AB}=\mathbf{b},\ \vec{AC}=\mathbf{c}$ とし、点 $A$ を原点として考える。

点 $P$ は辺 $AB$ を $3:2$ に内分するので、

$$ \vec{AP}=\frac{3}{5}\mathbf{b}

$$

である。

点 $Q$ は辺 $AC$ を $5:2$ に外分する。すなわち $AQ:QC=5:2$ で、$Q$ は $C$ の外側にあるから、

$$ \vec{AQ}=\frac{5}{3}\mathbf{c}

$$

である。

次に、$R$ が辺 $BC$ 上にあるので、

$$ BR:RC=t:(1-t)

$$

とおく。このとき

$$ \vec{AR}=(1-t)\mathbf{b}+t\mathbf{c}

$$

である。

また、$R$ は直線 $PQ$ 上にあるから、ある実数 $s$ を用いて

$$ \vec{AR}=(1-s)\vec{AP}+s\vec{AQ}

$$

と表せる。これに $\vec{AP}=\frac{3}{5}\mathbf{b},\ \vec{AQ}=\frac{5}{3}\mathbf{c}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} \vec{AR} &= (1-s)\frac{3}{5}\mathbf{b} + s\frac{5}{3}\mathbf{c} \end{aligned} $$

である。

一方で

$$ \vec{AR}=(1-t)\mathbf{b}+t\mathbf{c}

$$

でもあるから、$\mathbf{b},\mathbf{c}$ の係数を比較して、

$$ 1-t=\frac{3}{5}(1-s),\qquad t=\frac{5}{3}s

$$

を得る。

第2式より

$$ s=\frac{3}{5}t

$$

である。これを第1式に代入すると、

$$ 1-t=\frac{3}{5}\left(1-\frac{3}{5}t\right)

$$

となる。整理して、

$$ 1-t=\frac{3}{5}-\frac{9}{25}t

$$

より、

$$ 25-25t=15-9t

$$

したがって、

$$ 10=16t

$$

であるから、

$$ t=\frac{5}{8}

$$

である。

よって

$$ BR:RC=t:(1-t)=\frac{5}{8}:\frac{3}{8}=5:3

$$

となる。

次に、三角形 $APR$ の面積を求める。先ほどの $t=\frac{5}{8}$ より、

$$ \begin{aligned} \vec{AR} &= \frac{3}{8}\mathbf{b} + \frac{5}{8}\mathbf{c} \end{aligned} $$

である。

また、

$$ \vec{AP}=\frac{3}{5}\mathbf{b}

$$

であるから、三角形 $APR$ の面積は、$\mathbf{b}$ と $\mathbf{c}$ がつくる三角形 $ABC$ の面積に対して、

$$ \begin{aligned} \frac{[APR]}{[ABC]} &= \left| \det\left(\frac{3}{5}\mathbf{b},\frac{3}{8}\mathbf{b}+\frac{5}{8}\mathbf{c}\right) \right| \div |\det(\mathbf{b},\mathbf{c})| \end{aligned} $$

である。

$\det(\mathbf{b},\mathbf{b})=0$ だから、

$$ \begin{aligned} \det\left(\frac{3}{5}\mathbf{b},\frac{3}{8}\mathbf{b}+\frac{5}{8}\mathbf{c}\right) &= \frac{3}{5}\cdot\frac{5}{8}\det(\mathbf{b},\mathbf{c}) \\ \frac{3}{8}\det(\mathbf{b},\mathbf{c}) \end{aligned} $$

となる。したがって、

$$ \frac{[APR]}{[ABC]}=\frac{3}{8}

$$

である。

解説

この問題では、外分点 $Q$ の位置を正しく処理することが重要である。$AC$ を $5:2$ に外分する点は $C$ の外側にあり、$\vec{AQ}=\frac{5}{3}\vec{AC}$ となる。

また、$R$ は辺 $BC$ 上にあるので、$\vec{AR}=(1-t)\vec{AB}+t\vec{AC}$ と表すと、$BR:RC=t:(1-t)$ が直接求められる。直線 $PQ$ 上にある条件と係数比較を組み合わせるのが最も整理しやすい。

面積比は、同じ基準ベクトル $\vec{AB},\vec{AC}$ に対する行列式の係数で求められる。ここでは $\vec{AP}$ が $\vec{AB}$ 方向だけを持つため、計算が簡単になる。

答え

$$ BR:CR=5:3

$$

したがって、

$$ [\text{ア}]=5,\qquad [\text{イ}]=3

$$

である。

また、

$$ \frac{[APR]}{[ABC]}=\frac{3}{8}

$$

より、

$$ [\text{ウ}]=\frac{3}{8}

$$