解説

方針・初手

円に内接する四角形では、向かい合う角の和が $180^\circ$ である。

したがって、対角線 $AC=x$ を求めるときは $\triangle ABC$ と $\triangle CDA$ に余弦定理を用い、$\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta$ を利用して角を消去する。

同様に、対角線 $BD=y$ については $\triangle ABD$ と $\triangle BCD$ に余弦定理を用いる。

解法1

$\angle ABC=\theta$ とおく。四角形 $ABCD$ は円に内接しているから、

$$ \angle CDA=\pi-\theta

$$

である。

まず $\triangle ABC$ に余弦定理を用いると、

$$ x^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta

$$

である。また、$\triangle CDA$ に余弦定理を用いると、

$$ x^2=c^2+d^2-2cd\cos(\pi-\theta)

$$

であり、$\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta$ より、

$$ x^2=c^2+d^2+2cd\cos\theta

$$

となる。

これらを等しくおくと、

$$ \begin{aligned} a^2+b^2-2ab\cos\theta &= c^2+d^2+2cd\cos\theta \end{aligned} $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} 2(ab+cd)\cos\theta &= a^2+b^2-c^2-d^2 \end{aligned} $$

すなわち、

$$ \begin{aligned} \cos\theta &= \frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)} \end{aligned} $$

である。

これを

$$ x^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta

$$

に代入すると、

$$ \begin{aligned} x^2 &=a^2+b^2 &=

2ab\cdot \frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}\\ &= \frac{(a^2+b^2)(ab+cd)-ab(a^2+b^2-c^2-d^2)}{ab+cd}\\ &= \frac{cd(a^2+b^2)+ab(c^2+d^2)}{ab+cd}\\ &= \frac{a^2cd+b^2cd+abc^2+abd^2}{ab+cd}\\ &= \frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}. \end{aligned}

$$

したがって、

$$ x= \sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}

$$

である。

次に、$\angle DAB=\phi$ とおく。四角形 $ABCD$ は円に内接しているから、

$$ \angle BCD=\pi-\phi

$$

である。

$\triangle ABD$ に余弦定理を用いると、

$$ y^2=a^2+d^2-2ad\cos\phi

$$

である。また、$\triangle BCD$ に余弦定理を用いると、

$$ y^2=b^2+c^2-2bc\cos(\pi-\phi)

$$

であり、$\cos(\pi-\phi)=-\cos\phi$ より、

$$ y^2=b^2+c^2+2bc\cos\phi

$$

となる。

これらを等しくおくと、

$$ \begin{aligned} a^2+d^2-2ad\cos\phi &= b^2+c^2+2bc\cos\phi \end{aligned} $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} 2(ad+bc)\cos\phi &= a^2+d^2-b^2-c^2 \end{aligned} $$

すなわち、

$$ \begin{aligned} \cos\phi &= \frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)} \end{aligned} $$

である。

これを

$$ y^2=a^2+d^2-2ad\cos\phi

$$

に代入すると、

$$ \begin{aligned} y^2 &=a^2+d^2 &=

2ad\cdot \frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}\\ &= \frac{(a^2+d^2)(ad+bc)-ad(a^2+d^2-b^2-c^2)}{ad+bc}\\ &= \frac{bc(a^2+d^2)+ad(b^2+c^2)}{ad+bc}\\ &= \frac{a^2bc+bcd^2+ab^2d+ac^2d}{ad+bc}\\ &= \frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}. \end{aligned}

$$

したがって、

$$ y= \sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}

$$

である。

以上より、（1） の結果は

$$ x= \sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}, \qquad y= \sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}

$$

である。

さらに、これらを用いると、

$$ \begin{aligned} x^2y^2 &= \frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd} \cdot \frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}\\ &=(ac+bd)^2. \end{aligned}

$$

ここで、$x,y,a,b,c,d$ はいずれも正の長さであるから、$xy>0$ かつ $ac+bd>0$ である。したがって、

$$ xy=ac+bd

$$

を得る。

解説

この問題の中心は、円に内接する四角形の向かい合う角が補角になることを使い、余弦定理に現れる角を消去する点である。

$x$ を求めるときは、対角線 $AC$ を共有する $\triangle ABC$ と $\triangle CDA$ を見る。$y$ を求めるときは、対角線 $BD$ を共有する $\triangle ABD$ と $\triangle BCD$ を見る。どちらも同じ構造であり、補角の余弦が符号反転することによって、辺の長さだけで対角線を表せる。

最後に得られる

$$ xy=ac+bd

$$

は、円に内接する四角形に対するトレミーの定理である。この問題では、それを余弦定理から導いている。

答え

**(1)**

$$ x= \sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}, \qquad y= \sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}

$$

**(2)**

$$ xy=ac+bd

$$