解説

方針・初手

$N$ は直線 $AB$ 上で辺 $AB$ 上にはない。比 $AN:NB=2:1$ より、$N$ は $B$ の外側にあり、$AN=2AB,\ BN=AB$ である。

$B$ が線分 $MN$ 上にあるので、三角形 $CMN$ において

$$ \frac{CM}{CN}=\frac{MB}{BN}

$$

を示せば、角の二等分線定理の逆により $CB$ は $\angle MCN$ の二等分線となり、

$$ \angle BCM=\angle BCN

$$

が従う。

解法1

$AB=a$ とする。点 $M$ は辺 $AB$ の中点であるから、

$$ AM=MB=\frac{a}{2}

$$

である。

また、$N$ は直線 $AB$ 上で辺 $AB$ 上にはなく、$AN:NB=2:1$ である。$N$ が $A$ の外側にあるとすると $NB>AN$ となり、$AN:NB=2:1$ に反する。したがって $N$ は $B$ の外側にある。

よって

$$ AN=AB+BN=a+BN

$$

であり、$AN:NB=2:1$ より

$$ a+BN=2BN

$$

となるから、

$$ BN=a

$$

である。したがって

$$ MB:BN=\frac{a}{2}:a=1:2

$$

である。

次に、$CM:CN$ を求める。直線 $AB$ を $x$ 軸にとり、

$$ A=(0,0),\quad B=(a,0)

$$

とおく。このとき

$$ M=\left(\frac{a}{2},0\right),\quad N=(2a,0)

$$

である。

また、$AB=AC=a$ であるから、$C=(x,y)$ とおくと

$$ x^2+y^2=a^2

$$

が成り立つ。

まず、

$$ \begin{aligned} CM^2 &=\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+y^2 \\ &=x^2+y^2-ax+\frac{a^2}{4} \\ &=a^2-ax+\frac{a^2}{4} \\ &=\frac{5a^2}{4}-ax \end{aligned}

$$

である。

一方、

$$ \begin{aligned} CN^2 &=(x-2a)^2+y^2 \\ &=x^2+y^2-4ax+4a^2 \\ &=a^2-4ax+4a^2 \\ &=5a^2-4ax \\ &=4\left(\frac{5a^2}{4}-ax\right) \end{aligned}

$$

となる。したがって

$$ CN^2=4CM^2

$$

であり、長さは正であるから

$$ CN=2CM

$$

を得る。よって

$$ CM:CN=1:2

$$

である。

先に求めたように

$$ MB:BN=1:2

$$

であるから、

$$ CM:CN=MB:BN

$$

が成り立つ。

三角形 $CMN$ において、点 $B$ は線分 $MN$ 上にある。したがって、角の二等分線定理の逆より、直線 $CB$ は $\angle MCN$ の二等分線である。

よって

$$ \angle MCB=\angle BCN

$$

すなわち

$$ \angle BCM=\angle BCN

$$

である。

解説

この問題の要点は、示すべき角の等しさを三角形 $CMN$ における角の二等分線の問題として見ることである。

$B$ は線分 $MN$ 上にあるため、$\angle BCM=\angle BCN$ を直接角度計算で示すよりも、角の二等分線定理の逆を使い、

$$ CM:CN=MB:BN

$$

を示すのが自然である。

また、$N$ の位置は条件から自動的に決まる。$N$ は辺 $AB$ 上にないので、$A$ の外側か $B$ の外側のどちらかであるが、$AN:NB=2:1$ より $AN>NB$ でなければならないため、$N$ は $B$ の外側にある。

答え

$$ \angle BCM=\angle BCN

$$

が成り立つ。