解説

方針・初手

対角線 $BD=x$ は、三角形 $ABD$ と三角形 $BCD$ の両方に現れる。四角形 $ABCD$ は円に内接しているので、対角の和は $\pi$ であり、

$$ \angle BAD+\angle BCD=\pi

$$

が使える。したがって、まず $x^2$ を余弦定理で2通りに表し、$\cos\theta$ を消去する。

解法1

（1） 三角形 $ABD$ に注目する。$AB=a,\ DA=d,\ \angle BAD=\theta,\ BD=x$ であるから、余弦定理より

$$ x^2=a^2+d^2-2ad\cos\theta

$$

である。

（2） 四角形 $ABCD$ は円に内接しているので、向かい合う角の和は $\pi$ である。したがって

$$ \angle BCD=\pi-\theta

$$

である。

三角形 $BCD$ に余弦定理を用いると、$BC=b,\ CD=c,\ BD=x$ より

$$ x^2=b^2+c^2-2bc\cos(\pi-\theta)

$$

である。ここで $\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta$ だから、

$$ x^2=b^2+c^2+2bc\cos\theta

$$

となる。

一方、（1） より

$$ x^2=a^2+d^2-2ad\cos\theta

$$

であるから、2つの式を等しくおくと

$$ a^2+d^2-2ad\cos\theta=b^2+c^2+2bc\cos\theta

$$

である。これを $\cos\theta$ について解くと、

$$ 2(ad+bc)\cos\theta=a^2+d^2-b^2-c^2

$$

より

$$ \cos\theta=\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}

$$

である。

これを

$$ x^2=a^2+d^2-2ad\cos\theta

$$

に代入する。

$$ \begin{aligned} x^2 &=a^2+d^2 -2ad\cdot \frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}\\ &=\frac{(a^2+d^2)(ad+bc)-ad(a^2+d^2-b^2-c^2)}{ad+bc}\\ &=\frac{bc(a^2+d^2)+ad(b^2+c^2)}{ad+bc}\\ &=\frac{a^2bc+bcd^2+ab^2d+ac^2d}{ad+bc}\\ &=\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}. \end{aligned}

$$

よって、

$$ x^2=\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}

$$

が示された。

（3） （2） の結果を、同じ円に内接する四角形 $BCDA$ に対して用いる。

四角形 $BCDA$ の辺の長さは順に

$$ BC=b,\quad CD=c,\quad DA=d,\quad AB=a

$$

であり、その対角線 $CA$ が $y$ である。したがって、（2） の式より

$$ y^2=\frac{(bc+da)(bd+ca)}{ba+cd}

$$

すなわち

$$ y^2=\frac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd}

$$

である。

また、（2） より

$$ x^2=\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}

$$

であった。これらを掛け合わせると、

$$ \begin{aligned} x^2y^2 &=\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc} \cdot \frac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd}\\ &=(ac+bd)^2. \end{aligned}

$$

ここで $x,y$ は対角線の長さであるから $x>0,\ y>0$ であり、また $a,b,c,d$ は辺の長さなので $ac+bd>0$ である。よって両辺の正の平方根をとることができ、

$$ xy=ac+bd

$$

が得られる。

解説

この問題の中心は、円に内接する四角形では対角の和が $\pi$ になることを、余弦定理と組み合わせる点にある。

（2） では、同じ対角線 $BD$ を含む2つの三角形 $ABD,\ BCD$ に余弦定理を使い、$\cos\theta$ を消去することで、対角線の長さを4辺だけで表している。

（3） はトレミーの定理

$$ AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA

$$

そのものである。ただし、ここでは （2） の結果を別の頂点の並びに適用し、2つの対角線の2乗の公式を掛け合わせることで証明している。

答え

**(1)**

$$ x^2=a^2+d^2-2ad\cos\theta

$$

**(2)**

$$ x^2=\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}

$$

**(3)**

$$ xy=ac+bd

$$