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数学A 図形の性質「平面図形」の問題36 解説
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解説
方針・初手
点 $B,C$ は $y=-1$ 上で左右対称にあり，$BC=2\sqrt{3}$ である。$\angle BAC=\dfrac{\pi}{3}$ なので，正弦定理から $\triangle ABC$ の外接円の半径をまず求めると，外心の候補が絞られる。
解法1
まず，
$$ BC=2\sqrt{3}
$$
であり，$\angle BAC=\dfrac{\pi}{3}$ だから，外接円の半径を $R$ とすると，正弦定理より
$$ \frac{BC}{\sin \angle BAC}=2R
$$
である。よって
$$ \begin{aligned} \frac{2\sqrt{3}}{\sin \dfrac{\pi}{3}} &= \frac{2\sqrt{3}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \\ 4 \end{aligned} $$
なので，
$$ 2R=4
$$
すなわち
$$ R=2
$$
である。
外心を $O$ とする。点 $B,C$ は $y$ 軸に関して対称であるから，外心 $O$ は線分 $BC$ の垂直二等分線上にある。したがって
$$ O=(0,t)
$$
とおける。
$OB=2$ より，
$$ (-\sqrt{3}-0)^2+(-1-t)^2=2^2
$$
である。これを整理すると，
$$ 3+(t+1)^2=4
$$
したがって
$$ (t+1)^2=1
$$
より，
$$ t=0,\ -2
$$
である。
ここで，$t=-2$ のとき外接円は
$$ x^2+(y+2)^2=4
$$
であり，この円上の点の $y$ 座標は最大でも $0$ である。したがって，$y$ 座標が正である点 $A$ はこの円上には存在しない。
よって，条件を満たす $\triangle ABC$ の外接円は
$$ x^2+y^2=4
$$
であり，外心は
$$ O=(0,0)
$$
である。
次に，点 $A$ の座標を
$$ A=(a,b)
$$
とおく。点 $A$ は外接円
$$ x^2+y^2=4
$$
上にあり，さらに $y$ 座標が正であるから，
$$ a^2+b^2=4,\qquad b>0
$$
を満たす。
$\triangle ABC$ の垂心を $H$ とする。外心が原点であるから，座標平面上で外接円の中心を原点に取ったとき，垂心の位置ベクトルは
$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OH} &= \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \end{aligned} $$
で与えられる。
ここで
$$ B=(-\sqrt{3},-1),\qquad C=(\sqrt{3},-1)
$$
なので，
$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} &= (0,-2) \end{aligned} $$
である。したがって
$$ H=(a,b)+(0,-2)=(a,b-2)
$$
となる。
よって，点 $A$ が動くときの垂心 $H=(X,Y)$ は
$$ X=a,\qquad Y=b-2
$$
を満たす。すなわち
$$ a=X,\qquad b=Y+2
$$
であるから，$a^2+b^2=4$ に代入して
$$ X^2+(Y+2)^2=4
$$
を得る。
また，$b>0$ より
$$ Y+2>0
$$
すなわち
$$ Y>-2
$$
である。
したがって，垂心の軌跡は，円
$$ x^2+(y+2)^2=4
$$
のうち
$$ y>-2
$$
を満たす部分である。
解説
この問題では，$\angle BAC=\dfrac{\pi}{3}$ と $BC=2\sqrt{3}$ から外接円の半径が一定になることが出発点である。
外心の候補は $BC$ の垂直二等分線上にあり，計算上は $(0,0)$ と $(0,-2)$ の2つが出る。しかし，$(0,-2)$ を中心とする半径 $2$ の円は $y\leqq 0$ の範囲にしかないため，$y$ 座標が正である点 $A$ を取れない。この条件を見落とすと外心を誤って複数扱うことになる。
また，外心を原点に取った三角形では，垂心の位置ベクトルが3頂点の位置ベクトルの和で表される。この性質を使うと，垂心は点 $A$ を下に $2$ だけ平行移動した点であることがすぐに分かる。
答え
**(1)**
$$ (0,0)
$$
**(2)**
$$ x^2+(y+2)^2=4,\qquad y>-2
$$
すなわち，円 $x^2+(y+2)^2=4$ のうち $y>-2$ の部分である。