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数学A 図形の性質「平面図形」の問題37 解説
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解説
方針・初手
曲線 $y=\dfrac{1}{x}$ 上の2点を結ぶ直線の傾きを計算すると、式が単純になる。まず $AB,BC,CA$ の傾きを求め、そこから高度の方程式を立てて垂心 $H$ の座標を求める。
(2) は、$H$ が三角形 $ABC$ の垂心であることから得られる垂直関係を、三角形 $ABH$ に読み替えればよい。
解法1
曲線 $K:y=\dfrac{1}{x}$ 上の2点
$$ P\left(p,\frac{1}{p}\right),\quad Q\left(q,\frac{1}{q}\right)
$$
を結ぶ直線の傾きは
$$ \begin{aligned} \frac{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}{q-p} &= \frac{p-q}{pq(q-p)} \\ -\frac{1}{pq} \end{aligned} $$
である。
したがって
$$ m_{AB}=-\frac{1}{ab},\quad m_{BC}=-\frac{1}{bc},\quad m_{CA}=-\frac{1}{ca}
$$
である。
よって、辺 $AB$ に垂直で点 $C$ を通る高度の傾きは $ab$ であるから、その方程式は
$$ y-\frac{1}{c}=ab(x-c)
$$
である。
また、辺 $BC$ に垂直で点 $A$ を通る高度の傾きは $bc$ であるから、その方程式は
$$ y-\frac{1}{a}=bc(x-a)
$$
である。
この2本の高度の交点を $H(x,y)$ とする。すると
$$ abx-abc+\frac{1}{c}=bcx-abc+\frac{1}{a}
$$
より
$$ b(a-c)x=\frac{1}{a}-\frac{1}{c}
$$
である。ここで $a\ne c$ なので、
$$ b(a-c)x=\frac{c-a}{ac}
$$
より
$$ x=-\frac{1}{abc}
$$
を得る。
これを
$$ y-\frac{1}{c}=ab(x-c)
$$
に代入すると、
$$ \begin{aligned} y &=ab\left(-\frac{1}{abc}-c\right)+\frac{1}{c} \\ &=-\frac{1}{c}-abc+\frac{1}{c} \\ &=-abc \end{aligned}
$$
となる。
したがって
$$ H\left(-\frac{1}{abc},-abc\right)
$$
である。
このとき
$$ \frac{1}{-\frac{1}{abc}}=-abc
$$
であるから、$H$ の $y$ 座標は $x$ 座標の逆数になっている。よって
$$ H\in K
$$
である。すなわち、三角形 $ABC$ の垂心 $H$ は曲線 $K$ 上にある。
次に、三角形 $ABH$ の垂心を考える。
$H$ は三角形 $ABC$ の垂心であるから、
$$ CH\perp AB,\quad AH\perp BC,\quad BH\perp AC
$$
が成り立つ。
三角形 $ABH$ において、辺 $AB$ に対する点 $H$ からの高度は、$AB$ に垂直な直線である。ところが $CH\perp AB$ なので、この高度は直線 $CH$ である。
また、辺 $BH$ に対する点 $A$ からの高度は、$BH$ に垂直な直線である。ところが $BH\perp AC$ なので、この高度は直線 $AC$ である。
直線 $CH$ と直線 $AC$ の交点は $C$ である。したがって、三角形 $ABH$ の2本の高度は点 $C$ で交わる。
よって、三角形 $ABH$ の垂心は点 $C$ である。
解説
この問題の中心は、曲線 $y=\dfrac{1}{x}$ 上の2点を結ぶ直線の傾きが
$$ -\frac{1}{pq}
$$
という形になる点である。これにより、垂線の傾きが単に $pq$ となり、高度の方程式が非常に扱いやすくなる。
また、(2) は座標計算をさらに続ける必要はない。三角形 $ABC$ の垂心 $H$ が分かれば、$A,B,C,H$ は互いに「どの3点を三角形として見ても残りの1点が垂心になる」配置になっている。このような4点の組を直交四点系と見ることができる。
ただし、$H=A$ または $H=B$ となる特殊な場合には、三角形 $ABH$ は退化する。通常の意味で三角形 $ABH$ の垂心を考える場合は、$A,B,H$ が相異なる場合を前提とする。
答え
**(1)**
三角形 $ABC$ の垂心は
$$ H\left(-\frac{1}{abc},-abc\right)
$$
であり、
$$ -!abc=\frac{1}{-\frac{1}{abc}}
$$
だから、$H$ は曲線 $K:y=\dfrac{1}{x}$ 上にある。
**(2)**
$H$ が三角形 $ABC$ の垂心であることから
$$ CH\perp AB,\quad BH\perp AC
$$
が成り立つ。したがって、三角形 $ABH$ の高度は点 $C$ で交わるので、三角形 $ABH$ の垂心は点 $C$ である。