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数学A 図形の性質「平面図形」の問題38 解説
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解説
方針・初手
重心は3頂点の座標の平均で求める。
外心は3頂点から等距離にある点であるから、辺 $OA$ の垂直二等分線を利用する。
内心は、各頂点の座標をその対辺の長さで重み付けした平均で求める。
解法1
まず、重心を求める。三角形の3頂点が $O(0,0)$、$A(63,0)$、$B(15,20)$ であるから、重心の座標は
$$ \begin{aligned} \left( \frac{0+63+15}{3}, \frac{0+0+20}{3} \right) &= \left(26,\frac{20}{3}\right) \end{aligned} $$
である。
次に、外心を求める。外心を $P(x,y)$ とする。辺 $OA$ は $x$ 軸上にあり、$O(0,0)$、$A(63,0)$ であるから、$OA$ の垂直二等分線は
$$ x=\frac{63}{2}
$$
である。したがって、外心は
$$ P\left(\frac{63}{2},y\right)
$$
とおける。
外心は $O$ と $B$ から等距離にあるので、
$$ PO^2=PB^2
$$
を用いる。
$$ \begin{aligned} \left(\frac{63}{2}\right)^2+y^2 &= \left(\frac{63}{2}-15\right)^2+(y-20)^2 \end{aligned} $$
ここで
$$ \frac{63}{2}-15=\frac{33}{2}
$$
であるから、
$$ \begin{aligned} \frac{3969}{4}+y^2 &= \frac{1089}{4}+(y-20)^2 \end{aligned} $$
となる。これを整理すると、
$$ \begin{aligned} \frac{3969}{4} &= \frac{1089}{4}-40y+400 \end{aligned} $$
$$ 720=-40y+400
$$
$$ y=-8
$$
である。よって、外心の座標は
$$ \left(\frac{63}{2},-8\right)
$$
である。
最後に、内心を求める。各辺の長さは
$$ OA=63
$$
$$ OB=\sqrt{15^2+20^2}=25
$$
$$ AB=\sqrt{(63-15)^2+(0-20)^2} =\sqrt{48^2+20^2} =52
$$
である。
内心の座標は、各頂点をその対辺の長さで重み付けした平均で求められる。頂点 $O$ の対辺は $AB=52$、頂点 $A$ の対辺は $OB=25$、頂点 $B$ の対辺は $OA=63$ であるから、内心を $I$ とすると
$$ I= \frac{52O+25A+63B}{52+25+63}
$$
である。したがって、分母は
$$ 52+25+63=140
$$
であり、$x$ 座標は
$$ \begin{aligned} \frac{52\cdot 0+25\cdot 63+63\cdot 15}{140} &= \frac{1575+945}{140} \\ 18 \end{aligned} $$
である。また、$y$ 座標は
$$ \begin{aligned} \frac{52\cdot 0+25\cdot 0+63\cdot 20}{140} &= \frac{1260}{140} \\ 9 \end{aligned} $$
である。よって、内心の座標は
$$ (18,9)
$$
である。
解説
重心は単純な座標の平均であるため、計算ミスをしなければよい。
外心は「3点から等距離」という定義をそのまま使うよりも、辺 $OA$ が水平であることに注目し、まず $x=\frac{63}{2}$ とおくと計算が大きく減る。
内心は辺の長さを重みとして用いる公式が有効である。この問題では $OB=25$、$AB=52$、$OA=63$ という整数値になるため、内心の計算もきれいに進む。
答え
**(1)**
重心の座標は
$$ \left(26,\frac{20}{3}\right)
$$
である。したがって、
$$ \text{ア}=26,\qquad \text{イ}=\frac{20}{3}
$$
**(2)**
外心の座標は
$$ \left(\frac{63}{2},-8\right)
$$
である。したがって、
$$ \text{ウ}=\frac{63}{2},\qquad \text{エ}=-8
$$
**(3)**
内心の座標は
$$ (18,9)
$$
である。したがって、
$$ \text{オ}=18,\qquad \text{カ}=9
$$