解説

方針・初手

まず、仮説が正しいとしたときの「完全な商品である確率」を求める。商品は $A$ を $3$ 個、$B$ を $2$ 個、$C$ を $1$ 個まとめたものなので、それぞれが不良品でない確率を掛け合わせればよい。

次に、$960$ 個中の完全な商品の個数を二項分布で考え、正規近似によって両側検定を行う。

解法1

仮説のもとでは、$A,B,C$ の不良品でない確率はそれぞれ

$$ 1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16},\qquad 1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9},\qquad 1-\frac{1}{25}=\frac{24}{25}

$$

である。

商品 $1$ 個は $A$ を $3$ 個、$B$ を $2$ 個、$C$ を $1$ 個含むので、それが完全な商品である確率を $p$ とすると、

$$ p=\left(\frac{15}{16}\right)^3\left(\frac{8}{9}\right)^2\left(\frac{24}{25}\right)

$$

である。これを計算すると、

$$ \begin{aligned} p &=\frac{15^3}{16^3}\cdot \frac{8^2}{9^2}\cdot \frac{24}{25} \\ &=\frac{3375}{4096}\cdot \frac{64}{81}\cdot \frac{24}{25} \\ &=\frac{5}{8} \end{aligned}

$$

となる。

したがって、（1） の答えは

$$ \frac{5}{8}

$$

である。

次に、（2） を考える。仮説が正しいとすると、$960$ 個の商品を抽出したときの完全な商品の個数 $X$ は

$$ X\sim B\left(960,\frac{5}{8}\right)

$$

に従う。

このとき、平均と分散は

$$ E(X)=960\cdot \frac{5}{8}=600

$$

$$ V(X)=960\cdot \frac{5}{8}\cdot \frac{3}{8}=225

$$

である。したがって、標準偏差は

$$ \sqrt{225}=15

$$

である。

実際には完全な商品が $640$ 個であったので、標準化すると

$$ Z=\frac{640-600}{15}=\frac{40}{15}=\frac{8}{3}

$$

となる。

有意水準 $5%$ の両側検定では、標準正規分布の棄却域は

$$ |Z|\geq 1.96

$$

である。

ここで

$$ \frac{8}{3}=2.666\cdots>1.96

$$

であるから、観測値は棄却域に入る。よって、仮説は有意水準 $5%$ で棄却される。

したがって、（1） の仮説は正しいと判断してよいとはいえない。

解説

この問題では、まず「完全な商品である確率」を正確に作ることが重要である。商品 $1$ 個は $A,B,C$ をそれぞれ複数個含むので、単に $A,B,C$ の良品率を足したり平均したりしてはいけない。

$A$ が $3$ 個、$B$ が $2$ 個、$C$ が $1$ 個すべて良品でなければ完全な商品にならないため、

$$ \left(\frac{15}{16}\right)^3\left(\frac{8}{9}\right)^2\left(\frac{24}{25}\right)

$$

と掛け合わせる。

検定では、仮説のもとでの完全品の割合が $5/8$ であることから、$960$ 個中の完全品数の平均は $600$ 個になる。実際の $640$ 個は平均より $40$ 個多く、標準偏差 $15$ 個で割ると $2.666\cdots$ となる。これは両側 $5%$ 検定の基準である $1.96$ を超えるため、偶然の変動としては大きすぎると判断する。

答え

**(1)**

$$ \frac{5}{8}

$$

**(2)**

仮説のもとで

$$ X\sim B\left(960,\frac{5}{8}\right)

$$

とすると、

$$ E(X)=600,\qquad V(X)=225

$$

である。観測値 $X=640$ を標準化すると

$$ Z=\frac{640-600}{15}=\frac{8}{3}

$$

であり、

$$ \left|\frac{8}{3}\right|>1.96

$$

だから、有意水準 $5%$ の両側検定で仮説は棄却される。

よって、**(1) の仮説は正しいと判断してよいとはいえない**。