解説

方針・初手

母分散 $10^2$ が既知なので、標本平均 $\overline{X}$ を用いる。標本の大きさは $n=9$ であり、母平均を $a$ とすると

$$ \overline{X} \sim N\left(a,\frac{10^2}{9}\right)

$$

である。したがって標準化して検定・信頼区間を求める。

解法1

標本平均を求める。

$$ \begin{aligned} \overline{x} &= \frac{28+13+16+28+29+12+14+12+10}{9} \\ \frac{162}{9} \\ 18 \end{aligned} $$

(1) 検定

帰無仮説と対立仮説を

$$ H_0:a=25,\qquad H_1:a\neq 25

$$

とする。

母標準偏差は $10$、標本の大きさは $9$ なので、$H_0$ のもとで検定統計量は

$$ \begin{aligned} Z = \\ \frac{\overline{X}-25}{10/\sqrt{9}} \\ \frac{\overline{X}-25}{10/3} \end{aligned} $$

であり、標準正規分布 $N(0,1)$ に従う。

実際の標本平均 $\overline{x}=18$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} Z = \\ \frac{18-25}{10/3} \\ -\frac{7}{10/3} \\ -\frac{21}{10} \\ -2.1 \end{aligned} $$

である。

有意水準 $5%$ の両側検定では、棄却域は

$$ |Z|>1.96

$$

である。これは、与えられた

$$ \int_0^{1.96}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}},dx=0.475

$$

より、

$$ P(-1.96\leq Z\leq 1.96)=0.95

$$

となるためである。

今回は

$$ |-2.1|=2.1>1.96

$$

であるから、帰無仮説 $H_0:a=25$ は棄却される。

したがって、有意水準 $5%$ では $a=25$ であるとはいえない。

(2) 信頼区間

母分散が既知なので、信頼度 $95%$ の信頼区間は

$$ \overline{x}\pm 1.96\frac{10}{\sqrt{9}}

$$

で与えられる。

$\overline{x}=18$、$\sqrt{9}=3$ より、

$$ \begin{aligned} 18\pm 1.96\cdot \frac{10}{3} &= 18\pm \frac{19.6}{3} \\ 18\pm \frac{98}{15} \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} 18-\frac{98}{15} &= \frac{270-98}{15} \\ \frac{172}{15} \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} 18+\frac{98}{15} &= \frac{270+98}{15} \\ \frac{368}{15} \end{aligned} $$

である。

よって、$a$ の信頼度 $95%$ の信頼区間は

$$ \frac{172}{15}\leq a\leq \frac{368}{15}

$$

すなわち小数で表すと、

$$ 11.47\leq a\leq 24.53

$$

である。

解説

この問題では、母集団が正規分布であり、母分散 $10^2$ が既知である点が重要である。この場合、標本平均を標準化すると標準正規分布に従うため、$1.96$ を用いた検定と信頼区間の計算ができる。

(1) は「$a=25$ といえるか」と問われているので、通常は両側検定として扱う。標本平均が $18$ であり、仮定した母平均 $25$ から標準誤差 $10/3$ の約 $2.1$ 倍だけ離れているため、$5%$ 水準では棄却される。

(2) の信頼区間は、標本平均 $18$ を中心に、標準誤差 $10/3$ の $1.96$ 倍だけ左右に広げればよい。

答え

**(1)**

有意水準 $5%$ で $a=25$ は棄却される。したがって、$a=25$ であるとはいえない。

**(2)**

$a$ の信頼度 $95%$ の信頼区間は

$$ \frac{172}{15}\leq a\leq \frac{368}{15}

$$

すなわち

$$ 11.47\leq a\leq 24.53

$$

である。