解説

方針・初手

$1,2,3,4$ の順列は全部で $4!=24$ 通りあり、すべて同様に確からしい。

$X$ は「一致している位置 $i$ のうち最大のもの」であるから、$X=k$ とは、$a_k=k$ であり、かつ $k$ より大きい位置では一致が起こらないことを意味する。したがって、$X=4,3,2,1,0$ の順に場合を数える。

解法1

$X=k$ となる順列の個数を数える。

まず $X=4$ のとき、$a_4=4$ であればよい。残り $1,2,3$ は自由に並べられるので、

$$ 3!=6

$$

通りである。

次に $X=3$ のとき、$a_3=3$ であり、さらに $a_4\ne 4$ である。残りの位置 $1,2,4$ に数字 $1,2,4$ を並べる。位置 $4$ には $4$ を置けないので、$a_4$ は $1,2$ の $2$ 通りであり、残り $2$ つの数字は自由に並べられる。よって、

$$ 2\cdot 2!=4

$$

通りである。

次に $X=2$ のとき、$a_2=2$ であり、さらに $a_3\ne 3,\ a_4\ne 4$ である。残りの位置 $1,3,4$ に数字 $1,3,4$ を並べる。

全体は $3!=6$ 通りである。このうち $a_3=3$ となるものは $2!$ 通り、$a_4=4$ となるものも $2!$ 通りである。ただし、$a_3=3$ かつ $a_4=4$ となるものを二重に引いているので $1$ 通り戻す。したがって、

$$ 3!-2!-2!+1=6-2-2+1=3

$$

通りである。

次に $X=1$ のとき、$a_1=1$ であり、さらに $a_2\ne 2,\ a_3\ne 3,\ a_4\ne 4$ である。これは残りの数字 $2,3,4$ を位置 $2,3,4$ に並べるときの完全順列である。$3$ 個の完全順列の個数は

$$ !3=2

$$

である。

最後に $X=0$ のとき、どの位置でも一致しない。これは $4$ 個の完全順列であるから、包除原理により

$$ !4 =4!-{}_4\mathrm{C}_{1} 3!+{}_4\mathrm{C}_{2} 2!-{}_4\mathrm{C}_{3} 1!+{}_4\mathrm{C}_{4} 0!

$$

$$ =24-24+12-4+1=9

$$

通りである。

したがって確率分布は次のようになる。

| $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | | -------: | --------------: | --------------: | --------------: | --------------: | --------------: | | $P(X=x)$ | $\dfrac{9}{24}$ | $\dfrac{2}{24}$ | $\dfrac{3}{24}$ | $\dfrac{4}{24}$ | $\dfrac{6}{24}$ |

すなわち、

$$ P(X=0)=\frac{3}{8},\quad P(X=1)=\frac{1}{12},\quad P(X=2)=\frac{1}{8},\quad P(X=3)=\frac{1}{6},\quad P(X=4)=\frac{1}{4}

$$

である。

次に期待値を求める。

$$ E(X) =0\cdot \frac{9}{24} +1\cdot \frac{2}{24} +2\cdot \frac{3}{24} +3\cdot \frac{4}{24} +4\cdot \frac{6}{24}

$$

$$ =\frac{2+6+12+24}{24} =\frac{44}{24} =\frac{11}{6}

$$

である。

また、

$$ E(X^2) =0^2\cdot \frac{9}{24} +1^2\cdot \frac{2}{24} +2^2\cdot \frac{3}{24} +3^2\cdot \frac{4}{24} +4^2\cdot \frac{6}{24}

$$

$$ =\frac{2+12+36+96}{24} =\frac{146}{24} =\frac{73}{12}

$$

である。よって分散は

$$ V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2

$$

$$ =\frac{73}{12}-\left(\frac{11}{6}\right)^2 =\frac{219}{36}-\frac{121}{36} =\frac{98}{36} =\frac{49}{18}

$$

である。

最後に、$X$ が奇数となる確率を求める。$X$ が奇数であるのは $X=1,3$ のときなので、

$$ P(X\text{ が奇数}) =P(X=1)+P(X=3) =\frac{1}{12}+\frac{1}{6} =\frac{1}{4}

$$

である。

独立に試行 $T$ を $5$ 回繰り返す。$X$ が奇数となる回数を $Y$ とすると、

$$ Y\sim B\left(5,\frac{1}{4}\right)

$$

である。求める確率は $P(Y\ge 2)$ であるから、余事象を用いて

$$ P(Y\ge 2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)

$$

となる。

したがって、

$$ P(Y\ge 2) =1-\left(\frac{3}{4}\right)^5 -{}_5\mathrm{C}_{1}\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{3}{4}\right)^4

$$

$$ =1-\frac{243}{1024}-\frac{405}{1024} =\frac{376}{1024} =\frac{47}{128}

$$

である。

解説

この問題では、$X$ が「一致する位置の個数」ではなく「一致する位置の最大値」である点に注意する必要がある。

たとえば $X=2$ なら、$a_2=2$ であるだけでなく、$a_3\ne 3,\ a_4\ne 4$ が必要である。一方、$a_1=1$ であるかどうかは $X=2$ の条件には影響しない。このように、最大値の条件を「それより大きい位置では一致しない」と読み替えるのが初手である。

また、(3)では $X$ の詳しい値ではなく、奇数かどうかだけを見ればよい。したがって、1回の試行で $X$ が奇数となる確率を求めたあと、二項分布に帰着させるのが自然である。

答え

**(1)**

$$ \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P(X=x) & \dfrac{3}{8} & \dfrac{1}{12} & \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{4} \end{array}

$$

**(2)**

$$ E(X)=\frac{11}{6},\qquad V(X)=\frac{49}{18}

$$

**(3)**

$$ \frac{47}{128}

$$