基礎問題集
数学B 確率分布･統計的推測「確率分布」の問題3 解説
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解説
方針・初手
二項分布 $B(n,p)$ では、平均と分散がそれぞれ
$$ np,\quad np(1-p)
$$
で表される。まず平均と分散の条件から $n,p$ を決める。その後、二項分布の確率
$$ P_k={}_nC_k p^k(1-p)^{n-k}
$$
を用いて、$\dfrac{P_4}{P_3}$ を計算する。
解法1
$X$ は二項分布 $B(n,p)$ に従うとする。
平均が $6$、分散が $2$ であるから、
$$ np=6
$$
かつ
$$ np(1-p)=2
$$
である。
$np=6$ を分散の式に代入すると、
$$ 6(1-p)=2
$$
より、
$$ 1-p=\frac{1}{3}
$$
したがって、
$$ p=\frac{2}{3}
$$
である。
さらに $np=6$ より、
$$ n\cdot \frac{2}{3}=6
$$
だから、
$$ n=9
$$
である。
よって、$X$ は二項分布 $B\left(9,\dfrac{2}{3}\right)$ に従う。
ここで、
$$ P_k={}_9C_k\left(\frac{2}{3}\right)^k\left(\frac{1}{3}\right)^{9-k}
$$
であるから、
$$ \begin{aligned} \frac{P_4}{P_3} &= \frac{{}_9C_4\left(\frac{2}{3}\right)^4\left(\frac{1}{3}\right)^5} {{}_9C_3\left(\frac{2}{3}\right)^3\left(\frac{1}{3}\right)^6} \end{aligned} $$
である。
これを整理すると、
$$ \begin{aligned} \frac{P_4}{P_3} &= \frac{{}_9C_4}{{}_9C_3} \cdot \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}} \end{aligned} $$
となる。
まず、
$$ \begin{aligned} \frac{{}_9C_4}{{}_9C_3} &= \frac{126}{84} \\ \frac{3}{2} \end{aligned} $$
また、
$$ \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}=2
$$
である。
したがって、
$$ \begin{aligned} \frac{P_4}{P_3} &= \frac{3}{2}\cdot 2 \\ 3 \end{aligned} $$
である。
解説
二項分布では、平均 $np$ と分散 $np(1-p)$ の関係から、まず成功確率 $p$ を求めるのが初手である。
この問題では、分散を平均で割ると
$$ 1-p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}
$$
となるため、すぐに $p=\dfrac{2}{3}$ が分かる。その後 $np=6$ から $n=9$ を求めればよい。
また、$\dfrac{P_4}{P_3}$ はそれぞれの確率を直接計算してもよいが、比の形で処理すると多くの因子が約分されるため、計算が短くなる。
答え
$$ \frac{P_4}{P_3}=3
$$