解説

方針・初手

正三角形の外心から各頂点へのベクトルは長さが $1$ で、互いのなす角は $120^\circ$ である。したがって内積

$$ \begin{aligned} \vec{u}\cdot \vec{v} &= \vec{v}\cdot \vec{w} \\ \vec{w}\cdot \vec{u} \\ -\frac{1}{2} \end{aligned} $$

を用いて、まず $|\vec{x}|^2$ を $a,b,c$ で計算する。

確率については、$1,2$、$3,4$、$5,6$ が出る確率はいずれも $\frac{1}{3}$ なので、$(a,b,c)$ は確率 $\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}$ の多項分布として扱えばよい。

解法1

各ベクトルの長さは

$$ |\vec{u}|=|\vec{v}|=|\vec{w}|=1

$$

であり、正三角形の中心から各頂点へのベクトルのなす角は $120^\circ$ であるから、

$$ \begin{aligned} \vec{u}\cdot \vec{v} &= \vec{v}\cdot \vec{w} \\ \vec{w}\cdot \vec{u} \\ \cos 120^\circ \\ -\frac{1}{2} \end{aligned} $$

である。

(1) より、

$$ \begin{aligned} \vec{x} &= \frac{1}{n}(a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}) \end{aligned} $$

だから、

$$ \begin{aligned} |\vec{x}|^2 &= \frac{1}{n^2}|a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}|^2\\ &= \frac{1}{n^2}{a^2+b^2+c^2+2ab\vec{u}\cdot\vec{v} +2bc\vec{v}\cdot\vec{w} +2ca\vec{w}\cdot\vec{u}}\\ &= \frac{1}{n^2}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}. \end{aligned}

$$

ここで $t=ab+bc+ca$、また $a+b+c=n$ より、

$$ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)

$$

である。したがって

$$ a^2+b^2+c^2=n^2-2t

$$

なので、

$$ \begin{aligned} |\vec{x}|^2 &= \frac{n^2-3t}{n^2} \\ 1-\frac{3t}{n^2} \end{aligned} $$

である。

次に (2) を求める。$1$ または $2$ が出る確率、$3$ または $4$ が出る確率、$5$ または $6$ が出る確率はいずれも

$$ \frac{2}{6}=\frac{1}{3}

$$

である。

したがって、$n$ 回中それぞれ $a,b,c$ 回出る確率は多項分布より

$$ \begin{aligned} p(a,b,c) &= \frac{n!}{a!b!c!} \left(\frac{1}{3}\right)^a \left(\frac{1}{3}\right)^b \left(\frac{1}{3}\right)^c &= \frac{n!}{3^n a!b!c!} \end{aligned} $$

である。

(3) では、条件 (A) を満たすすべての $(a,b,c)$ について確率の和が $1$ であることを使う。すなわち、

$$ \sum_{(A)} p(a,b,c)=1

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \sum_{(A)} \frac{n!}{3^n a!b!c!} &= 1 \end{aligned} $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} \frac{n!}{3^n}\sum_{(A)} \frac{1}{a!b!c!} &= 1 \end{aligned} $$

となるので、

$$ \begin{aligned} S_n &= \sum_{(A)} \frac{1}{a!b!c!}\\ &= \frac{3^n}{n!} \end{aligned} $$

である。

(4) を求める。$ab$ の期待値は

$$ \begin{aligned} E[ab] &= \sum_{(A)} ab\,p(a,b,c) \end{aligned} $$

である。ここに (2) の結果を代入すると、

$$ \begin{aligned} E[ab] &= \sum_{(A)} ab\frac{n!}{3^n a!b!c!} \end{aligned} $$

となる。

$a=0$ または $b=0$ の項は $ab=0$ なので、$a\geqq 1,\ b\geqq 1$ の項だけを考えればよい。このとき

$$ \begin{aligned} \frac{ab}{a!b!c!} &= \frac{1}{(a-1)!(b-1)!c!} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} E[ab] &= \frac{n!}{3^n}\sum_{\substack{a+b+c=n\a\geqq 1,\ b\geqq 1}}\frac{1}{(a-1)!(b-1)!c!}. \end{aligned}

$$

ここで

$$ a'=a-1,\quad b'=b-1,\quad c'=c

$$

とおくと、

$$ a'+b'+c'=n-2

$$

である。よって、$n\geqq 2$ のとき

$$ \begin{aligned} \sum_{\substack{a+b+c=n\a\geqq 1,\ b\geqq 1}} \frac{1}{(a-1)!(b-1)!c!} &= S_{n-2}\\ &= \frac{3^{n-2}}{(n-2)!} \end{aligned} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} E[ab] &= \frac{n!}{3^n}\cdot \frac{3^{n-2}}{(n-2)!} \\ \frac{n(n-1)}{9} \end{aligned} $$

である。$n=1$ のときも $ab=0$ なので、この式は成り立つ。

最後に (5) を求める。(1) より

$$ \begin{aligned} |\vec{x}|^2 &= 1-\frac{3t}{n^2} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} E[|\vec{x}|^2] &= 1-\frac{3}{n^2}E[t] \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ t=ab+bc+ca

$$

であり、対称性により

$$ E[ab]=E[bc]=E[ca]

$$

である。したがって

$$ \begin{aligned} E[t] &= E[ab]+E[bc]+E[ca] \\ 3E[ab] \\ 3\cdot \frac{n(n-1)}{9} \\ \frac{n(n-1)}{3} \end{aligned} $$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} E[|\vec{x}|^2] &= 1-\frac{3}{n^2}\cdot \frac{n(n-1)}{3}\\ &= 1-\frac{n-1}{n}\\ &= \frac{1}{n}. \end{aligned}

$$

解説

この問題の中心は、正三角形の対称性と多項分布の扱いである。

幾何部分では、$\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ の大きさがすべて $1$ で、相互の内積が $-\frac{1}{2}$ になることを使えばよい。これにより、$|\vec{x}|^2$ は $ab+bc+ca$ だけで表せる。

確率部分では、サイコロの目そのものではなく、「$1,2$ のグループ」「$3,4$ のグループ」「$5,6$ のグループ」の3分類を考える。各分類の確率が等しく $\frac{1}{3}$ であるため、$(a,b,c)$ は3項の多項分布になる。

(4) では $S_n$ を利用して階乗をずらす処理が重要である。$ab$ があるため、$a,b$ をそれぞれ $1$ ずつ減らして $S_{n-2}$ に帰着させるのが自然である。

答え

**(1)**

$$ \begin{aligned} |\vec{x}|^2 &= 1-\frac{3t}{n^2} \\ \frac{n^2-3t}{n^2} \end{aligned} $$

**(2)**

$$ \begin{aligned} p(a,b,c) &= \frac{n!}{3^n a!b!c!} \end{aligned} $$

**(3)**

$$ \begin{aligned} S_n &= \frac{3^n}{n!} \end{aligned} $$

**(4)**

$$ \begin{aligned} E[ab] &= \frac{n(n-1)}{9} \end{aligned} $$

**(5)**

$$ \begin{aligned} E[|\vec{x}|^2] &= \frac{1}{n} \end{aligned} $$