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数学B 確率分布･統計的推測「確率分布」の問題6 解説
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解説
方針・初手
$X$ は、出た目の和が素数なら $1$、そうでなければ $0$ をとる確率変数である。したがって、まず
$$ P(X=1)
$$
を求めればよい。$X$ は $0,1$ のみをとる確率変数なので、平均と分散はベルヌーイ分布として計算できる。
解法1
2つのさいころの出方は全部で
$$ 6 \times 6 = 36
$$
通りであり、すべて同様に確からしい。
出た目の和が素数となるのは、和が $2,3,5,7,11$ のときである。それぞれの出方の数は次のようになる。
| 和 | 出方の数 | | ---- | ---: | | $2$ | $1$ | | $3$ | $2$ | | $5$ | $4$ | | $7$ | $6$ | | $11$ | $2$ |
したがって、出た目の和が素数となる出方の総数は
$$ 1+2+4+6+2=15
$$
である。よって
$$ P(X=1)=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}
$$
となる。
また、$X=0$ となる確率は
$$ P(X=0)=1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}
$$
である。
$X$ は $1$ または $0$ の値しかとらないので、平均は
$$ E(X)=1\cdot \frac{5}{12}+0\cdot \frac{7}{12}=\frac{5}{12}
$$
である。
分散は
$$ V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2
$$
を用いる。$X$ は $0,1$ のみをとるので $X^2=X$ である。したがって
$$ E(X^2)=E(X)=\frac{5}{12}
$$
となるから、
$$ V(X)=\frac{5}{12}-\left(\frac{5}{12}\right)^2 =\frac{5}{12}-\frac{25}{144} =\frac{60-25}{144} =\frac{35}{144}
$$
である。
次に、1つめのさいころの目が $4$ であったとする。このとき、2つめのさいころの目を $k$ とすると、和は
$$ 4+k
$$
である。
$k=1,2,3,4,5,6$ に対して、和はそれぞれ
$$ 5,6,7,8,9,10
$$
となる。このうち素数は $5,7$ である。
したがって、$X=1$ となるのは
$$ k=1,3
$$
の2通りである。2つめのさいころの出方は6通りで同様に確からしいから、求める確率は
$$ \frac{2}{6}=\frac{1}{3}
$$
である。
解説
この問題の中心は、$X$ が $0$ または $1$ だけをとる確率変数であることに気づく点である。このような確率変数では、$P(X=1)=p$ とおくと
$$ E(X)=p,\qquad V(X)=p(1-p)
$$
となる。
したがって、平均や分散の計算そのものよりも、まず「和が素数となる場合の数」を正確に数えることが重要である。
また、(2)では「1つめのさいころが $4$」という条件が与えられているため、全36通りではなく、2つめのさいころの6通りだけを考える。条件付きの場面では、標本空間が変わる点に注意する必要がある。
答え
**(1)**
$$ E(X)=\frac{5}{12},\qquad V(X)=\frac{35}{144}
$$
**(2)**
$$ \frac{1}{3}
$$