解説

方針・初手

$P_n$ の $x$ 座標を $x_n$ とおく。放物線 $y=x^2$ 上の2点を結ぶ直線の傾きは、2点の $x$ 座標の和で表せる。したがって、まず傾きの条件を $x_n$ の漸化式に直す。

解法1

$P_n=(x_n,x_n^2)$ とおく。$P_1$ は原点であるから、

$$ x_1=0

$$

である。

直線 $P_nP_{n+1}$ の傾きは

$$ \frac{x_{n+1}^2-x_n^2}{x_{n+1}-x_n}

$$

である。直線の傾きが定まっているので $x_{n+1}\ne x_n$ であり、よって

$$ \frac{x_{n+1}^2-x_n^2}{x_{n+1}-x_n} =x_n+x_{n+1}

$$

となる。

条件より、

$$ x_n+x_{n+1}=\frac{1}{n(n+2)}

$$

である。したがって

$$ x_{n+1}=\frac{1}{n(n+2)}-x_n

$$

を得る。

ここで

$$ y_n=(-1)^n x_n

$$

とおく。上の漸化式を変形するために、$x_n=(-1)^n y_n$ を代入すると、

$$ (-1)^{n+1}y_{n+1}+(-1)^n y_n=\frac{1}{n(n+2)}

$$

である。両辺を $(-1)^n$ で割ると、

$$ -y_{n+1}+y_n=\frac{(-1)^n}{n(n+2)}

$$

すなわち

$$ y_{n+1}=y_n+\frac{(-1)^{n+1}}{n(n+2)}

$$

となる。

また、$y_1=(-1)^1x_1=0$ であるから、$n\geqq 2$ のとき

$$ y_n=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^{k+1}}{k(k+2)}

$$

である。

ここで

$$ \frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)

$$

を用いると、

$$ \begin{aligned} y_n &=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k+1}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)\\ &=\frac{1}{2}\left\{\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^{k+1}}{k} -\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^{k+1}}{k+2}\right\}. \end{aligned}

$$

第2項で $j=k+2$ とおくと、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^{k+1}}{k+2} &= \sum_{j=3}^{n+1}\frac{(-1)^{j+1}}{j} \end{aligned} $$

である。したがって、途中の項は打ち消し合い、

$$ \begin{aligned} y_n &=\frac{1}{2}\left\{1-\frac{1}{2} -\left(\frac{(-1)^{n+1}}{n}+\frac{(-1)^{n+2}}{n+1}\right)\right\}\\ &=\frac{1}{4} -\frac{1}{2}\left(\frac{(-1)^{n+1}}{n}+\frac{(-1)^{n+2}}{n+1}\right). \end{aligned}

$$

よって $x_n=(-1)^n y_n$ だから、

$$ \begin{aligned} x_n &=(-1)^n\left\{ \frac{1}{4} -\frac{1}{2}\left(\frac{(-1)^{n+1}}{n}+\frac{(-1)^{n+2}}{n+1}\right) \right\}\\ &=\frac{(-1)^n}{4} +\frac{1}{2n} -\frac{1}{2(n+1)}\\ &=\frac{(-1)^n}{4}+\frac{1}{2n(n+1)}. \end{aligned}

$$

これは $n=1$ のときも

$$ \frac{(-1)^1}{4}+\frac{1}{2\cdot 1\cdot 2} =-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=0

$$

となり、$x_1=0$ を満たす。

したがって、すべての正の整数 $n$ について

$$ x_n=\frac{(-1)^n}{4}+\frac{1}{2n(n+1)}

$$

である。

解説

この問題の要点は、放物線 $y=x^2$ 上の2点 $(a,a^2),(b,b^2)$ を結ぶ直線の傾きが

$$ \frac{b^2-a^2}{b-a}=a+b

$$

となることである。

これにより、図形の条件が

$$ x_n+x_{n+1}=\frac{1}{n(n+2)}

$$

という漸化式に変わる。この漸化式は $x_{n+1}$ と $x_n$ の符号が交互に入れ替わる型なので、$y_n=(-1)^n x_n$ とおくと和の形に直せる。

さらに

$$ \frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)

$$

と分解すると、交代符号つきの和でも多くの項が打ち消し合う。ここを見抜けるかが計算を短くするポイントである。

答え

$P_n$ の $x$ 座標は

$$ \boxed{\frac{(-1)^n}{4}+\frac{1}{2n(n+1)}}

$$

である。