基礎問題集
数学B 数列「等差数列･等比数列」の問題3 解説
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解説
方針・初手
3つの数列に現れる値を集合として考え、重複して数えないように包除原理を用いる。
それぞれの数列に現れる値の集合を
$$ A={3n-2},\quad B={4n+1},\quad C={7n}
$$
とおく。求める個数は、$1000$ 以下の $A\cup B\cup C$ の要素数である。
解法1
まず各数列に現れる $1000$ 以下の値の個数を求める。
$A$ について、
$$ 3n-2\leqq 1000
$$
より
$$ 3n\leqq 1002
$$
したがって
$$ n\leqq 334
$$
であるから、$A$ の個数は $334$ 個である。
$B$ について、
$$ 4n+1\leqq 1000
$$
より
$$ 4n\leqq 999
$$
したがって
$$ n\leqq 249
$$
であるから、$B$ の個数は $249$ 個である。
$C$ について、
$$ 7n\leqq 1000
$$
より
$$ n\leqq 142
$$
であるから、$C$ の個数は $142$ 個である。
次に、2つの集合の共通部分を求める。
$A$ に現れる値は $3$ で割って $1$ 余る数であり、$B$ に現れる値は $4$ で割って $1$ 余る数である。したがって $A\cap B$ の値は
$$ x\equiv 1\pmod{3},\quad x\equiv 1\pmod{4}
$$
を満たすので、
$$ x\equiv 1\pmod{12}
$$
である。
ただし $x=1$ は $A$ には現れるが、$B$ には現れない。よって $A\cap B$ に現れる値は
$$ 13,25,37,\ldots,997
$$
である。その個数は
$$ \frac{997-13}{12}+1=83
$$
である。
次に $A\cap C$ を求める。$C$ の値は $7$ の倍数なので、$x=7k$ とおく。これが $A$ にも現れるためには
$$ 7k\equiv 1\pmod{3}
$$
であればよい。$7\equiv 1\pmod{3}$ だから、
$$ k\equiv 1\pmod{3}
$$
である。よって
$$ x=7,28,49,\ldots
$$
すなわち
$$ x=21t+7\quad (t=0,1,2,\ldots)
$$
となる。$1000$ 以下の個数は
$$ \frac{994-7}{21}+1
$$
ではなく、実際に最大の項を確認すると
$$ 21\cdot 47+7=994
$$
であるから、
$$ 47+1=48
$$
個である。
次に $B\cap C$ を求める。$x=7k$ とおくと、$B$ にも現れるためには
$$ 7k\equiv 1\pmod{4}
$$
であればよい。$7\equiv 3\pmod{4}$ だから、
$$ 3k\equiv 1\pmod{4}
$$
である。$3^{-1}\equiv 3\pmod{4}$ より、
$$ k\equiv 3\pmod{4}
$$
である。したがって
$$ x=21,49,77,\ldots
$$
すなわち
$$ x=28t+21\quad (t=0,1,2,\ldots)
$$
となる。$1000$ 以下では
$$ 28\cdot 34+21=973
$$
までであるから、個数は
$$ 34+1=35
$$
個である。
最後に、3つすべてに共通する値を求める。$A\cap B$ では
$$ x\equiv 1\pmod{12}
$$
であり、さらに $C$ にも現れるので
$$ x\equiv 0\pmod{7}
$$
を満たす必要がある。
$x=7k$ とおくと、
$$ 7k\equiv 1\pmod{12}
$$
である。$7\cdot 7=49\equiv 1\pmod{12}$ より、
$$ k\equiv 7\pmod{12}
$$
となる。したがって
$$ x\equiv 49\pmod{84}
$$
である。$1000$ 以下の値は
$$ 49,133,217,\ldots,973
$$
であり、その個数は
$$ \frac{973-49}{84}+1=12
$$
である。
包除原理より、求める個数は
$$ 334+249+142-83-48-35+12
$$
である。これを計算して
$$ 334+249+142-83-48-35+12=571
$$
となる。
解説
この問題では、各数列の項数を単純に足すだけでは重複分を余計に数えてしまう。したがって、共通して現れる値を合同式で処理し、包除原理で重複を調整するのが基本方針である。
特に注意すべき点は、$b_n=4n+1$ は $5,9,13,\ldots$ から始まり、$1$ は含まれないことである。そのため、$A\cap B$ を単に $x\equiv 1\pmod{12}$ としただけでは $x=1$ を誤って含めてしまう。
答え
$$ 571
$$