基礎問題集
数学B 数列「等差数列･等比数列」の問題4 解説
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解説
方針・初手
部分和の条件が与えられているので、等差数列の場合は等差数列の和の公式、等比数列の場合は等比数列の初項から第 $n$ 項までの和を直接用いる。
等比数列では、初項から第 $6$ 項までの和を
$$ a_1(1+r+r^2+r^3+r^4+r^5)
$$
と表し、因数分解
$$ 1+r+r^2+r^3+r^4+r^5=(1+r+r^2)(1+r^3)
$$
を使うのが簡潔である。
解法1
まず、${a_n}$ が等差数列である場合を考える。
初項を $a_1$、公差を $d$ とすると、第 $n$ 項は
$$ a_n=a_1+(n-1)d
$$
である。
初項から第 $3$ 項までの和は
$$ a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)=3a_1+3d
$$
であるから、
$$ 3a_1+3d=3
$$
すなわち
$$ a_1+d=1
$$
を得る。
また、初項から第 $6$ 項までの和は
$$ a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+(a_1+3d)+(a_1+4d)+(a_1+5d) =6a_1+15d
$$
であるから、
$$ 6a_1+15d=-21
$$
両辺を $3$ で割って、
$$ 2a_1+5d=-7
$$
を得る。
したがって
$$ \begin{cases} a_1+d=1 \\ 2a_1+5d=-7 \end{cases}
$$
を解けばよい。
第 $1$ 式より
$$ a_1=1-d
$$
これを第 $2$ 式に代入すると、
$$ 2(1-d)+5d=-7
$$
よって
$$ 2+3d=-7
$$
したがって
$$ d=-3
$$
である。これより
$$ a_1=1-(-3)=4
$$
となる。
次に、${a_n}$ が等比数列である場合を考える。
初項を $a_1$、公比を $r$ とすると、初項から第 $3$ 項までの和は
$$ a_1(1+r+r^2)
$$
である。したがって
$$ a_1(1+r+r^2)=3
$$
である。
また、初項から第 $6$ 項までの和は
$$ a_1(1+r+r^2+r^3+r^4+r^5)
$$
である。ここで
$$ 1+r+r^2+r^3+r^4+r^5=(1+r+r^2)(1+r^3)
$$
だから、
$$ a_1(1+r+r^2)(1+r^3)=-21
$$
となる。
一方、
$$ a_1(1+r+r^2)=3
$$
であるから、
$$ 3(1+r^3)=-21
$$
を得る。
よって
$$ 1+r^3=-7
$$
すなわち
$$ r^3=-8
$$
である。公比 $r$ は実数なので、
$$ r=-2
$$
である。
これを
$$ a_1(1+r+r^2)=3
$$
に代入すると、
$$ a_1{1+(-2)+(-2)^2}=3
$$
すなわち
$$ 3a_1=3
$$
であるから、
$$ a_1=1
$$
となる。
解説
等差数列では、部分和を初項 $a_1$ と公差 $d$ の一次式として表せば、連立一次方程式に帰着する。
等比数列では、初項から第 $6$ 項までの和を第 $3$ 項までの和と結びつけることが要点である。実際、
$$ 1+r+r^2+r^3+r^4+r^5=(1+r+r^2)(1+r^3)
$$
なので、第 $6$ 項までの和は「第 $3$ 項までの和」に $1+r^3$ を掛けた形になる。
この処理により、初項 $a_1$ をいったん消去して公比 $r$ を先に求められる。
答え
等差数列のとき
$$ [\text{ア}]=4,\qquad [\text{イ}]=-3
$$
等比数列のとき
$$ [\text{ウ}]=1,\qquad [\text{エ}]=-2
$$