解説

方針・初手

$(1+x)^n$ の $x^k$ の係数は二項係数 ${}_{n}\mathrm{C}_{k}$ である。したがって、まず $a_4,a_5,a_6$ を二項係数で表し、等差数列の条件

$$ a_4+a_6=2a_5

$$

を立てればよい。

解法1

二項定理より、$(1+x)^n$ の展開式における $x^k$ の係数は ${}_{n}\mathrm{C}_{k}$ であるから、

$$ a_4={}_{n}\mathrm{C}_{4},\quad a_5={}_{n}\mathrm{C}_{5},\quad a_6={}_{n}\mathrm{C}_{6}

$$

である。

これらを $n$ の式で表すと、

$$ a_4=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24},

$$

$$ a_5=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{120},

$$

$$ a_6=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{720}

$$

である。

次に、$a_4,a_5,a_6$ がこの順で等差数列になる条件を考える。等差数列であることは、中央の項が両端の平均になることと同値なので、

$$ a_4+a_6=2a_5

$$

である。

ここで ${}_{n}\mathrm{C}_{4}>0$ であるから、この条件式を ${}_{n}\mathrm{C}_{4}$ で割る。まず、

$$ \frac{{}_{n}\mathrm{C}_{5}}{{}_{n}\mathrm{C}_{4}}=\frac{n-4}{5}

$$

であり、また

$$ \frac{{}_{n}\mathrm{C}_{6}}{{}_{n}\mathrm{C}_{4}} =\frac{(n-4)(n-5)}{5\cdot 6} =\frac{(n-4)(n-5)}{30}

$$

である。

したがって、

$$ 1+\frac{(n-4)(n-5)}{30}=2\cdot \frac{n-4}{5}

$$

となる。両辺に $30$ をかけると、

$$ 30+(n-4)(n-5)=12(n-4)

$$

である。展開して整理すると、

$$ 30+n^2-9n+20=12n-48

$$

より、

$$ n^2-21n+98=0

$$

となる。

これを因数分解すると、

$$ (n-7)(n-14)=0

$$

である。よって、

$$ n=7,\ 14

$$

を得る。いずれも条件 $n\geqq 6$ を満たす。

解説

二項係数をそのまま展開して計算してもよいが、$a_4,a_5,a_6$ は連続する二項係数なので、比を使って ${}_{n}\mathrm{C}_{4}$ で割ると計算がかなり簡単になる。

等差数列の条件は「隣り合う差が等しい」として

$$ a_5-a_4=a_6-a_5

$$

と立ててもよいが、これは

$$ a_4+a_6=2a_5

$$

と同じである。

答え

$$ a_4=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}

$$

$$ a_5=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{120}

$$

$$ a_6=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{720}

$$

$a_4,a_5,a_6$ がこの順で等差数列になるのは、

$$ n=7,\ 14

$$

である。