解説

方針・初手

等比数列の条件は、3項 $x,y,z$ について $y^2=xz$ と表せる。ただし $b,c,8$ が等比数列をなすには初項 $b$ が $0$ であってはならないので、途中で出る $b=0$ の場合は除外する。

さらに、$a,b,c$ が等差数列をなす条件は

$$ 2b=a+c

$$

である。これらを連立して求める。

解法1

$2,a,b$ がこの順に等比数列をなすので、

$$ a^2=2b

$$

である。

また、$b,c,8$ がこの順に等比数列をなすので、

$$ c^2=8b

$$

である。

ここで $a^2=2b$ より

$$ b=\frac{a^2}{2}

$$

である。これを $c^2=8b$ に代入すると、

$$ c^2=8\cdot \frac{a^2}{2}=4a^2

$$

となるから、

$$ c=\pm 2a

$$

である。

また、$a,b,c$ がこの順に等差数列をなすので、

$$ 2b=a+c

$$

である。$b=\dfrac{a^2}{2}$ を代入すると、

$$ a^2=a+c

$$

となる。

よって、$c=2a$ と $c=-2a$ の場合に分ける。

**(i)**

$c=2a$ のとき

$$ a^2=a+2a=3a

$$

より、

$$ a(a-3)=0

$$

である。

$a=0$ のとき $b=0,\ c=0$ となるが、$b,c,8$ すなわち $0,0,8$ は等比数列をなさないので不適である。

したがって、

$$ a=3

$$

であり、

$$ b=\frac{3^2}{2}=\frac{9}{2},\qquad c=2\cdot 3=6

$$

を得る。

**(ii)**

$c=-2a$ のとき

$$ a^2=a-2a=-a

$$

より、

$$ a(a+1)=0

$$

である。

$a=0$ のときは先ほどと同様に不適である。

したがって、

$$ a=-1

$$

であり、

$$ b=\frac{(-1)^2}{2}=\frac{1}{2},\qquad c=-2(-1)=2

$$

を得る。

以上より、求める組は

$$ (a,b,c)=\left(3,\frac{9}{2},6\right),\quad \left(-1,\frac{1}{2},2\right)

$$

である。

解説

この問題では、等比数列の条件を共通比で置いてもよいが、3項の等比条件を $y^2=xz$ として処理すると計算が短くなる。

注意すべき点は、式 $c^2=8b$ だけで判断すると $a=b=c=0$ が一度出てくることである。しかし $b,c,8$ が等比数列であるためには、ある共通比 $r$ によって

$$ c=br,\qquad 8=cr

$$

と表される必要がある。$b=c=0$ では $8=cr$ が成り立たないので、この場合は除外する必要がある。

答え

$$ (a,b,c)=\left(3,\frac{9}{2},6\right),\quad \left(-1,\frac{1}{2},2\right)

$$