基礎問題集
数学B 数列「等差数列･等比数列」の問題11 解説
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解説
方針・初手
等差数列の和の公式
$$ S_n=\frac{n}{2}{2a+(n-1)r}
$$
を用いて、まず数列 ${a_n}$ の初項と公差を求める。
その後、条件 $a_5=b_4,\ a_{10}=b_7$ から数列 ${b_n}$ を決める。最後に、両方の数列に共通して現れる項を合同条件として整理する。
解法1
数列 ${a_n}$ の初項を $A$、公差を $r$ とする。
初項から第 $10$ 項までの和が $175$ であるから、
$$ \frac{10}{2}(2A+9r)=175
$$
より、
$$ 2A+9r=35
$$
である。
また、初項から第 $20$ 項までの和が $650$ であるから、
$$ \frac{20}{2}(2A+19r)=650
$$
より、
$$ 2A+19r=65
$$
である。
したがって、
$$ (2A+19r)-(2A+9r)=65-35
$$
より、
$$ 10r=30
$$
となるので、
$$ r=3
$$
である。
これを $2A+9r=35$ に代入すると、
$$ 2A+27=35
$$
より、
$$ A=4
$$
である。
したがって、数列 ${a_n}$ は
$$ a_n=4+3(n-1)=3n+1
$$
である。
次に、数列 ${b_n}$ の初項を $b$、公差を $d$ とする。このとき、
$$ b_n=b+(n-1)d
$$
である。
条件 $a_5=b_4$ より、
$$ a_5=3\cdot 5+1=16
$$
なので、
$$ b+3d=16
$$
である。
また、条件 $a_{10}=b_7$ より、
$$ a_{10}=3\cdot 10+1=31
$$
なので、
$$ b+6d=31
$$
である。
したがって、
$$ (b+6d)-(b+3d)=31-16
$$
より、
$$ 3d=15
$$
となるので、
$$ d=5
$$
である。
これを $b+3d=16$ に代入すると、
$$ b+15=16
$$
より、
$$ b=1
$$
である。
したがって、数列 ${b_n}$ は
$$ b_n=1+5(n-1)=5n-4
$$
である。
ここで、数列 ${a_n}$ に含まれる項は
$$ 3n+1
$$
の形であり、$3$ で割ると $1$ 余る。
また、数列 ${b_n}$ に含まれる項は
$$ 5n-4
$$
の形であり、$5$ で割ると $1$ 余る。
したがって、両方の数列に共通して含まれる項は、
$$ x\equiv 1 \pmod{3},\qquad x\equiv 1 \pmod{5}
$$
を満たす。
よって、
$$ x\equiv 1 \pmod{15}
$$
である。
ただし、${a_n}$ の初項は $4$ であるため、$x=1$ は ${a_n}$ に含まれない。したがって、最初の共通項は
$$ 16
$$
である。
よって、新しい数列 ${c_n}$ は
$$ 16,\ 31,\ 46,\ \cdots
$$
となるから、初項 $16$、公差 $15$ の等差数列である。
したがって、
$$ c_n=16+15(n-1)=15n+1
$$
である。
次に、$c_n\leqq 500$ を満たす範囲を求める。
$$ 15n+1\leqq 500
$$
より、
$$ 15n\leqq 499
$$
であるから、
$$ n\leqq \frac{499}{15}
$$
となる。
よって、条件を満たすのは
$$ n=1,2,\dots,33
$$
である。
したがって、求める和は初項 $16$、公差 $15$、項数 $33$ の等差数列の和であるから、
$$ \frac{33}{2}{2\cdot 16+(33-1)\cdot 15}
$$
である。
これを計算すると、
$$ \frac{33}{2}(32+480)=\frac{33}{2}\cdot 512=33\cdot 256=8448
$$
となる。
解説
まず和の条件から ${a_n}$ を決定するのが自然である。第 $10$ 項までの和と第 $20$ 項までの和が与えられているので、等差数列の和の公式を2本立てれば、初項と公差が求まる。
共通項を考える場面では、実際に列挙してもよいが、合同条件で見ると整理しやすい。${a_n}$ の項は $3$ で割って $1$ 余る数、${b_n}$ の項は $5$ で割って $1$ 余る数であるため、共通項は $15$ で割って $1$ 余る数になる。
ただし、$1$ は ${b_n}$ には含まれるが、${a_n}$ には含まれない。この点を見落とすと、共通項の初項を誤る。
答え
**(1)**
$$ [ア]=4,\qquad [イ]=3
$$
**(2)**
$$ [ウ]=1,\qquad [エ]=5
$$
**(3)**
$$ [オ]=16,\qquad [カ]=15,\qquad [キ]=8448
$$