基礎問題集
数学B 数列「等差数列･等比数列」の問題17 解説
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解説
方針・初手
条件を満たす自然数を等差数列として並べ、初項・末項・項数を求めて和の公式を用いる。
(3) は「4で割ると3余る」と「5で割ると4余る」を同時に満たす数なので、合同式で整理して、公差 $20$ の等差数列に直す。
解法1
(1) 4で割ると3余る数は
$$ 3,\ 7,\ 11,\ \cdots,\ 199
$$
である。これは初項 $3$、公差 $4$ の等差数列である。
末項は $199$ であり、
$$ 199=3+4(n-1)
$$
より、
$$ 4(n-1)=196
$$
だから、
$$ n=50
$$
である。したがって、
$$ S_1=\frac{50(3+199)}{2}=25\cdot 202=5050
$$
である。
(2) 5で割ると4余る数は
$$ 4,\ 9,\ 14,\ \cdots,\ 199
$$
である。これは初項 $4$、公差 $5$ の等差数列である。
末項は $199$ であり、
$$ 199=4+5(n-1)
$$
より、
$$ 5(n-1)=195
$$
だから、
$$ n=40
$$
である。したがって、
$$ S_2=\frac{40(4+199)}{2}=20\cdot 203=4060
$$
である。
(3) 条件を満たす数を $x$ とすると、
$$ x\equiv 3 \pmod{4},\qquad x\equiv 4 \pmod{5}
$$
である。
$x\equiv 3 \pmod{4}$ より、
$$ x=4k+3
$$
とおける。これを $x\equiv 4 \pmod{5}$ に代入すると、
$$ 4k+3\equiv 4 \pmod{5}
$$
であるから、
$$ 4k\equiv 1 \pmod{5}
$$
となる。ここで $4\equiv -1 \pmod{5}$ より、
$$ -k\equiv 1 \pmod{5}
$$
すなわち、
$$ k\equiv 4 \pmod{5}
$$
である。
よって $k=5m+4$ とおけるので、
$$ x=4(5m+4)+3=20m+19
$$
となる。したがって条件を満たす数は
$$ 19,\ 39,\ 59,\ \cdots,\ 199
$$
である。
これは初項 $19$、公差 $20$ の等差数列である。末項は $199$ であり、
$$ 199=19+20(n-1)
$$
より、
$$ 20(n-1)=180
$$
だから、
$$ n=10
$$
である。したがって、
$$ S_3=\frac{10(19+199)}{2}=5\cdot 218=1090
$$
である。
解説
剰余の条件は、該当する数を等差数列として並べるのが基本である。
(1)、(2) は初項と公差がそのまま読み取れるため、末項と項数を確認して和を求めればよい。
(3) は2つの条件を同時に満たす数を求める必要がある。単に $S_1$ と $S_2$ を使って計算するのではなく、共通して現れる数を合同式で求めるのが安全である。実際、条件を満たす数は $20$ ごとに現れ、$19,39,59,\ldots,199$ となる。
答え
**(1)**
$$ S_1=5050
$$
**(2)**
$$ S_2=4060
$$
**(3)**
$$ S_3=1090
$$