基礎問題集
数学B 数列「等差数列･等比数列」の問題18 解説
数学Bの数列「等差数列･等比数列」にある問題18の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。
MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。
- 基礎問題の問題画像と保存済み解説を公開
- ログイン後にAI質問で復習
- ログイン後に学習履歴を保存
解説
方針・初手
等差数列の一般項を
$$ a_n=a_1+(n-1)d $$
とおく。まず
$$ a_2+a_4+a_6=468,\qquad a_3+a_7=296 $$
から $a_1,d$ を決める。
その後、初項から第 $n$ 項までの和
$$ S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n $$
を $n$ の式で表し、最大値と $|S_n|$ の最小値を調べる。
解法1
等差数列の一般項を
$$ a_n=a_1+(n-1)d $$
とする。
条件
$$ a_2+a_4+a_6=468 $$
より、
$$ (a_1+d)+(a_1+3d)+(a_1+5d)=468 $$
したがって
$$ 3a_1+9d=468 $$
である。
また、
$$ a_3+a_7=296 $$
より、
$$ (a_1+2d)+(a_1+6d)=296 $$
したがって
$$ 2a_1+8d=296 $$
である。
前者を
$$ a_1+3d=156 $$
後者を
$$ a_1+4d=148 $$
と書くと、両式の差から
$$ d=-8 $$
となる。
これを $a_1+3d=156$ に代入して
$$ a_1=180 $$
を得る。
よって一般項は
$$ a_n=180+(n-1)(-8)=188-8n $$
である。
次に、初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると、
$$ S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n) $$
であるから、
$$ \begin{aligned} S_n &=\frac{n}{2}\{180+(188-8n)\}\\ &=\frac{n}{2}(368-8n)\\ &=4n(46-n) \end{aligned} $$
となる。
これは
$$ S_n=-4n^2+184n $$
という下に凸の2次式であり、軸は
$$ n=\frac{184}{8}=23 $$
である。
したがって、$S_n$ の最大値は
$$ S_{23}=4\cdot 23\cdot(46-23)=2116 $$
であり、そのとき
$$ n=23 $$
である。
最後に、$|S_n|$ の最小値を求める。
$$ S_n=4n(46-n) $$
であるから、$n$ が自然数なら
$$ S_n=0 $$
となるのは
$$ n=46 $$
のときである。
よって
$$ |S_n| $$
の最小値は
$$ 0 $$
であり、そのとき
$$ n=46 $$
である。
解説
この問題で重要なのは、添字が $1$ 始まりであることを崩さないことだ。画像条件は
$$ a_2+a_4+a_6,\qquad a_3+a_7 $$
であり、$a_0$ は出てこない。ここを取り違えると一般項も和も全部ずれる。
和 $S_n$ は一般項を求めた後に
$$ S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n) $$
とすればすぐに2次式になる。最大値は放物線の頂点、$|S_n|$ の最小値は $S_n=0$ となる点を見ればよい。
答え
**(1)**
$$ a_n=188-8n $$
**(2)**
$$ S_n \text{ の最大値は }2116 $$
そのとき
$$ n=23 $$
**(3)**
$$ |S_n| \text{ の最小値は }0 $$
そのとき
$$ n=46 $$