基礎問題集
数学B 数列「等差数列･等比数列」の問題19 解説
数学Bの数列「等差数列･等比数列」にある問題19の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。
MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。
- 基礎問題の問題画像と保存済み解説を公開
- ログイン後にAI質問で復習
- ログイン後に学習履歴を保存
解説
方針・初手
$a,b,c$ がこの順で等差数列をなすので、
$$ a=b-d,\qquad c=b+d $$
とおくのが自然である。ただし $d\neq 0$ である。
さらに、$a,c,b$ がこの順で等比数列をなすから
$$ c^2=ab $$
が成り立つ。これと
$$ abc=27 $$
を組み合わせて $b,d$ を決める。
解法1
$a,b,c$ がこの順で等差数列をなすから、
$$ a=b-d,\qquad c=b+d $$
と表せる。
また、$a,c,b$ がこの順で等比数列をなすから、
$$ c^2=ab $$
である。
ここに
$$ a=b-d,\qquad c=b+d $$
を代入すると、
$$ (b+d)^2=b(b-d) $$
となる。
これを整理して
$$ b^2+2bd+d^2=b^2-bd $$
すなわち
$$ d(3b+d)=0 $$
を得る。
$a,b,c$ は異なる3つの実数なので $d\neq 0$ である。したがって
$$ d=-3b $$
である。
よって
$$ a=b-(-3b)=4b,\qquad c=b+(-3b)=-2b $$
となる。
ここで条件
$$ abc=27 $$
を用いると、
$$ (4b)\cdot b\cdot(-2b)=27 $$
より
$$ -8b^3=27 $$
となるので、
$$ b=-\frac{3}{2} $$
である。
したがって
$$ a=4b=-6,\qquad c=-2b=3 $$
となる。
解説
この問題の誤りやすい点は、積の条件が
$$ ab=27 $$
ではなく
$$ abc=27 $$
であることだ。ここを2項の積にすり替えると、$c^2=27$ と誤って進んでしまい、答え全体が崩れる。
等差数列は
$$ a=b-d,\qquad c=b+d $$
と置くと処理が一気に軽くなる。等比条件 $c^2=ab$ を代入すると $d=-3b$ が出て、最後は積条件で $b$ が一意に定まる。
答え
$$ (a,b,c)=\left(-6,-\frac{3}{2},3\right) $$